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Sesión del
30 de noviembre de 1966
"La paradoja de Russell"
Complemento
Notas de lectura y comentarios
La ubicación de
las citas es indicada con paginación de la edición crítica de Rodriguez Ponte
Exposición de Jacques-Alain Miller
"Las ecuaciones del pensamiento"
1 - Lógica y psicoanálisis
La exposición de Miller lleva por título "Las ecuaciones del pensamiento".
Es una lectura y comentario, principalmente del libro de George Boole "Las leyes del pensamiento" (1), con algunas referencias y relaciones con formulaciones de Spinoza y de Sartre.
Comienza recordando la posición de Kant respecto de Spinoza, al que le reprocha su planteo de "pensamientos que se piensan ellos mismos". Ese planteo recibe de Fichte el nombre "postulado de la sinrazón", y marca los límites de la filosofía de la subjetividad en su imposibilidad de concebir nada de un pensamiento que no sea el acto de un sujeto. Ese es en cambio, la vía que prosigue cierto desarrollo de la ciencia: la lógica matemática, buscando una exclusión cada vez más asegurada de toda dimensión psicológica.
La lectura de la lógica matemática nos resulta útil en que "la autonomía y suficiencia que ella se esfuerza por asegurar a su simbolismo vuelven tanto más manifiestas las articulaciones donde tropieza la marca de su funcionamiento" (12).
A partir de esta idea es que plantea como título para su exposición "las ecuaciones del pensamiento", expresión que puede remontarse al primer fundador de la lógica matemática, Georges Boole y su descubrimiento que el álgebra puede formular las relaciones lógicas. Descubrimiento por el cual la formalización algebraica se libera del campo de los números, y se plantea que "la simbolización propiamente dicha no es dependiente de la interpretación de los símbolos sino solamente de las leyes de su combinación" (12).De este modo es que Boole busca establecer que las leyes del pensamiento están sometidas a una matemática, al mismo título que las concepciones cuantitativas del espacio y del tiempo, del número y de la magnitud.
Luego de recordar su intervención y la de Jean-Claude Milner, sobre la lógica del significante (2), en la sesión del 2 de junio de 1965 (del seminario XII "Problemas cruciales del psicoanálisis"), Miller comienza el comentario del libro de Boole.
Boole piensa el lenguaje como instrumento del pensamiento, y el signo como una marca arbitraria. Con lo cual la significación es producida por el enlace de una palabra y una idea o de una palabra y una cosa. Consecuentemente, la comunicación está únicamente asegurada por la permanencia de una asociación. La proposición de Boole es que todas las operaciones del lenguaje como instrumento del razonamiento podrían ser trasladadas a un sistema de signos. Y lo que especifica al signo que emplea el álgebra de la lógica es que puede no ser más que una letra o una simple marca (lo cual está autorizado por la teoría de la arbitrariedad del signo)
Hay tres tipos de signos: las letras simbólicas, los signos de operación (+ , - , x , etc.) y el signo de identidad.
Las letras pueden representar cierto número de objetos con cierto nombre o propiedad. Y el orden de los simbolos, en la escritura, es indiferente. Es decir, XY = YX
Para los signos de operación, Boole retoma cierto número de leyes de la aritmética, en el orden de la lógica. Por ejemplo, el signo + será la reunión, por ejemplo de X e Y. Y el signo - indicará la resta a una clase de una parte de sus elementos.2 - La ley mayor del pensamiento
Ahora bien, si suponemos que X e Y tienen la misma significación, entonces su multiplicación XY es equivalente a uno de ellos al cuadrado XY = XX, y al mismo tiempo, a uno solo de ellos XY =XX = X.
Es decir:
Y esta fórmula es considerada "la ley mayor del pensamiento".
Están sujetos a esta ley todos los símbolos que deben valer en el álgebra de la lógica, como representación de las leyes del pensamiento.
Y a partir de aquí es la aritmética la que va a guiar la lógica. Una vez que se tiene esta ley, se debe buscar interpretarla por medio de los números. Y es evidente que solo dos números son capaces de interpretar esta fórmula de manera que satisfaga a la aritmética. Solo el 0 y el 1 responden, en la numeración, a la ley booleana del pensamiento, que llamaremos "ley de la significación" (16).Así, por ejemplo, la clase 0 que no representa nada, multiplicada por la clase Y, da 0:
0 x Y = 0En contraposición al 0, que no representa nada, el 1 no puede representar más que una clase tal que todos los individuos, no importa de qué clase sean, sean también sus miembros; es decir, es el universo, definido como la clase en la cual están comprendidos todos los individuos de cualquier clase.
Entonces, sea X una clase cualquiera, está claro que 1-X es el complemento de X, es decir, la clase que comporta los objetos que no están comprendidos en la clase X.
Si ahora retomamos la fórmula de la ley mayor, cambiando alguno de sus términos de lado respecto del signo =, tendremos que
X- X2 = 0
que también podemos escribir como
X (1-X) = 0
No hay intersección entre 1-X y X (por eso su multiplicación da 0), es imposible para un ser poseer una cualidad y no poseerla al mismo tiempo.
Es decir, a partir de la ley mayor, por medio de esta interpretación, se deriva de ella el enunciado del principio de contradicción (la constitución del pensamiento es anterior a este principio de contradicción)..La fórmula de la ley mayor nos da también una forma más elaborada del principio de identidad, ya que la misma supone, a diferencia de la fórmula clásica X=X, la dualidad del elemento idéntico a si en la operación de significarse a si mismo:
X = X2
La fórmula revela que "la significación de un elemento en el universo del discurso implica su reduplicación, y que su identidad a si no es nada más que la reducción de su doble a él mismo" (18).
En suma, la dicotomía es el proceso de todo análisis en la significación, y el binarismo no es un avatar contemporáneo de la reflexión o del análisis sino que está ya inscripto en esta dualidad.Boole descarta la posibilidad de una ecuación de tercer grado (X al cubo), porque, de cualquier manera que uno transforme esa ecuación, cuestiona dos términos que no son interpretables en el álgebra de la lógica: la expresión 1 + X y el símbolo -1.
Esto permite retomar la elección que hizo Boole en cuanto a qué termino cambiar de lado respecto del signo = en la fórmula de la ley mayor. En lugar de escribir
X - X2 = 0
podríamos haber elegido escribir
X2 - X= 0 , que es también X (X - 1) = 0.Este símbolo -1 debe ser excluido del campo de la lógica porque no sigue la ley del X2 = X
En el origen de la lógica matemática, en el punto en que ella se funda, está consumada la exclusión del símbolo -1, justamente porque "es el símbolo de lo no idéntico a si, no sigue la ley de la identidad y de la no contradicción en el orden de la significación" (18).
También está excluida la fórmula 1 + X, ya que no se puede concebir la adición de nada al universo. Lo que no se puede aceptar en la lógica matemática es el exceso de un elemento sobre el universo, el exceso de lo que se puede llamar un "+1" o "1 en mas", tan simplemente como recién referíamos al "-1". La exclusión del símbolo del fuera de significación, o del fuera de significado, y de lo no representable, en tanto que excede la totalidad del universo.Estas dos exclusiones no hacen más que una: es el mismo lugar el que ocupan el uno por exceso y el uno por defecto, por relación tanto a la significación como a la realidad.
En el orden de la significación, el "1 en más" falta.
Podemos definir una "ley del signo" diciendo que "en la significación, los signos, dotados de significación, están constituidos de manera que obedezcan a la ley de Boole, pero que el significante, como materia de signo, o como elemento fuera de significado, no obedece a ella". El significante no se significa a sí mismo, "no está constituido a imagen de la significación que soporta" (19).3 - Reflexividad
Para reunir las dos leyes de la significación, la del signo y la de significante, sería preciso mostrar que el "+1" o "-1" es producido por toda significación en tanto que supone una operación de redoblamiento.
La reflexión o reflexividad, en matemática, implica el infinito, "es una propiedad de una colección infinita", tal como lo explica Russell en su "Introducción a la filosofía matemática": "una clase es reflexiva si es una clase semejante a una parte de si misma. Esto quiere decir que una parte de esta colección puede hacer espejo al todo, o incluso que la similitud entre estos dos conjuntos, la parte y el todo, consiste en la posibilidad de juntar a todo elemento del todo un elemento de su parte, de ponerlos en correspondencia bi-univoca" (3)
Así, por ejemplo, podemos asociar todo número natural a los números pares. Lo que caracteriza al número cardinal de una colección infinita es que permanece incambiado por adición o la sustracción de una unidad o de varias. No hay reflexión más que si algo del todo cae fuera de la reflexión. Ese elemento que cae representa la diferencia del todo y de la parte. .Volviendo entonces a los "pensamientos que se piensan ellos mismos" de Spinoza, ello ocurre en el entendimiento divino, en tanto infinito. Si hay tantas ideas de ideas como hay ideas e ideas de ideas, Dios tiene consciencia de sus ideas, pero no tiene consciencia de sí, no es una persona.
Tener consciencia de sus ideas implica "que no haya consciencia y que haya un entendimiento infinito".Evitar esta regresión al infinito es lo que reclama Sartre en "El ser y la nada" (4), para lo cual es preciso "que la consciencia de si sea relación inmediata y no cognitiva de si a si". Si se quiere obtener una consciencia de si excluyendo un entendimiento infinito, en la reflexión se debe producir un elemento que se relacione a si sin reduplicarse. Es decir, esa "consciencia de consciencia" tiene la posición de un punto de reflexión tal que tiene que soportar la diferencia del todo y de la parte, por sí solo. Totalmente por sí solo, asume la propiedad reflectiva de la colección infinita.
No se puede predicar sobre una colección sino desde su exterior. No se puede pensar la unidad de una colección más que desde afuera de esa colección. Aprehender una colección como un conjunto supone que se la rodee con un círculo. Este círculo mismo es la unidad de la colección. El círculo de toda colección es un elemento producido en más por toda predicación, todo discurso, sobre la colección. Dicho de otro modo, el "uno en más" falta a los elementos de la colección para que esta colección se cierre. Es un incontable, un fuera de significado, al cual la significación remite en tanto que ella supone un redoblamiento. .
Notas
(1) George Boole "Les lois de la pensée", "An Investigation of the Laws of Thought", Walton and Marbely, London
(2) La intervención de Milner llevaba por título "Le point du signifiant", y fue publicada en el 3° número de "Cahiers pour l'Analyse"
La intervención de Miller es el conocido texto "La Suture", publicado en el 1° número de "Cahiers pour l'Analyse", traducción al castellano "La sutura".
Ambos artículos fueron incluidos en el libro "Significante y sutura en el psicoanálisis", editorial Siglo XXI, junto con articulos de Yves Duroux ("Psychologie et logique")(3) Bertrand Russell, "Introducción a la filosofía matemática", "Introduction to Mathematical Philosophy"
(4) Jean-Paul Sartre, "El ser y la nada”
