Michel Sauval - Jacques Lacan - Seminario 10 - La angustia - Sesión del 14 de diciembre 1966

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Sesión del 14 de diciembre de 1966
"Del grupo de Klein al cogito"

Notas de lectura y comentarios
La ubicación de las citas es indicada con paginación de la edición Paidós

Rebaño de ovejas

1 - Una pregunta estúpida

Lacan inicia la sesión con una pregunta que le formularon en ocasión de una de sus recientes entrevistas y conferencias de presentación de la publicación de sus “Escritos”.
Si bien la califica de "pregunta idiota", no lo hace en términos despectivos, sino entendiendo por tal algo muy natural y simple, a menudo ligado a la situación. Una pregunta que lo sorprendió: "¿qué vinculo hay entre sus Escritos?"
La respuesta respecto a dicho vínculo - que habría entre sus escritos, no de su enseñanza) - es algo del orden de lo que se llama “la identidad”, que cada cual tiene derecho a remitirse, “para aplicárselo a sí mismo" (64). Es algo profundamente discutido a todo lo largo de esos Escritos, y que se expresa del siguiente modo: "yo soy yo" (64).

Ese “yo soy yo” se presenta como una convicción, difícil de conmover para muchos, y que va de la mano de la afirmación tajante, igualmente ligera, acerca de lo que no es de ellos: "eso, no soy yo", "yo no actué así" (64). Ese es el eje que sostiene y promueve toda una teoría psicológica que plantea, como primeros pasos de la existencia y de la vida, la distinción entre el "yo" y el "no-yo". Pero dar por zanjable esa oposición entre el "yo" y el "no yo" con el único límite una negación (incluyendo seguramente el tercero excluido), deja fuera del campo la única pregunta importante, a saber, si "yo, soy yo" (65).

No es en el terreno de la identificación misma que puede resolverse verdaderamente la pregunta. Este sujeto que cree captarse bajo la identificación "yo" hace referencia a la estructura, es decir, algo que es externo a lo dado inmediatamente, intuitivamente, en el campo de la identificación. Lo que nos lleva nuevamente a la fórmula que "ningún significante podría significarse a sí mismo" (65).

2 - Grupo de Klein y estructuras algebraicas

Con sus tizas ya en mano, Lacan emprende un esquema de forma tetraédrica, del grupo de Klein, en los que el color (azul, amarillo y rosado) de cada trazo responde a cada una de las tres operaciones que lo definen:

Lacan va siguiendo los pasos básicos del desarrollo del grupo de Klein, y remite para más detalles a un artículo de Marc Barbut ⁽¹⁾, al que retoma en varios puntos.

El grupo de Klein es un ejemplo clásico de estructura algebraica. Una estructura algebraica es un conjunto de elementos cualesquiera entre los cuales se definen una o varias leyes de composición u operaciones. La manera según la cual los elementos se componen puede darse mediante una tabla, (pero con la salvedad explícita que este procedimiento solo es aplicable si el conjunto sobre el que se define la estructura algebraica es finito). El conjunto de las condiciones a las cuales satisfacen las operaciones constituye lo que se llama los “axiomas” de la estructura. Dicho de otro modo, la axiomática de una estructura algebraica es un conjunto de condiciones que sea, a la vez, necesario y suficiente para reconstruir la tabla (si nos limitamos a las estructuras finitas).
Como se ve, tenemos entonces dos tipos de "elementos" para un grupo: las reglas u operaciones, y los elementos sobre los que se aplican esas reglas. Los primeros constituyen el conjunto de la axiomática, y los segundos la "representación" del grupo.
Su axiomática (conjunto de reglas) puede escribirse del siguiente modo:

hay cuatro elementos (I, a, b, g), entre los que está definida una operación binaria

I es el elemento neutro, es decir Ia = a, Ib = b, Ig = g

La operación es asociativa, es decir (xy) z = x (yz), donde x, y, z, pueden ser cualquiera de los elementos del conjunto (I, a, b, g)

Cada elemento tiene un inverso; es decir, cada elemento compuesto con si mismo da el neutro: aa = I, bb = I, gg = I

Cada elemento del conjunto posee un orden de repetición inferior a 4; es decir, existe un entero n: 1, 2 o 3, tal que el elemento compuesto n veces consecutivas consigo mismo da el neutro I

Este conjunto de relaciones se puede componer en una tabla de esos cuatro elementos (I, a, b, g)
(cada elemento dentro del cuadrado resulta de la combinación del par de elementos de los bordes horizontal y vertical)

Un primer ejemplo de aplicación de esta axiomática sobre un conjunto de elementos, por ejemplo, los números - que representaremos con x - puede ordenarse con las siguientes operaciones

a como operación involutiva - "transformar en opuesto" - esto es x se transforma en -x;
b como la operación (también involutiva) - "transformar en inverso" - es decir, x se transforma en 1/x;
g la operación producto de las dos operaciones precedentes, es decir tomar el inverso del opuesto, o el opuesto del inverso,
I como el elemento neutro

Las dos nociones que son inseparables de la noción de estructura son la de isomorfismo y la de representación.
El grupo de Klein es un buen ejemplo para dar cuenta de la noción de representación.
Como vimos en la definición que dimos del mismo a partir de su conjunto axiomatico y su tabla de Cayley, el grupo de Klein es un grupo "abstracto".
Compuesto de un alfabeto que comprende tres letras I, a, b, su sintaxis no comporta más que cuatro palabras I, a, b, y ab (o ba), y su "gramática" es la tabla de relaciones que mencionamos antes.
Una "representación" de ese grupo consiste en dar una "significación" a cada elemento del mismo, hacer que objetos concretos se combinen como los elementos del grupo abstracto (que es lo que vimos con los ejemplos de los números o las 4 letras), lo que constituiría la "semántica" de ese lenguaje.

Todo ese procedimiento puede resumirse mediante el diagrama siguiente:

donde las flechas horizontales y plenas son las operaciones a (transformar en opuesto, o cambio de signo), las fechas verticales y punteadas son las operaciones b (transformar en inverso), y las flechas gruesas diagonales, son las operaciones g (producto de las anteriores)

También podemos aplicar esta estructura sobre otro conjunto de elementos, por ejemplo, un conjunto de la composició de 4 letras abcd que se pueden poner en ese u otro orden siempre que sea intercambiándolas de dos en dos.
Es decir que tendremos el orden inicial abcd.

Luego una operación a , que consistirá en intercambiar 1° con 2° y 3° con 4°, lo cual nos da badc.

Luego la operación b, que consistirá en intercambiar 1° con 3° y 2° con 4°, lo que nos da cdab.

Y luego la operación g, que es el producto de las dos anteriores, es decir, aplicar b sobre el resultado de a, o aplicar a sobre el resultado de b, lo que nos da dcba.

Obtenemos el siguiente esquema:

Una aplicación semejante es la que va desarrollando Lacan con su esquema tetraédrico de colores para identificar las operaciones, con la siguiente nomenclatura: 0, a, b, y c:

0 es el elemento neutro. Cada una de las operaciones a y b se encuentra en dos lugares diferentes en la red y - como vimos previamente - se caracterizan por ser involutivas, es decir, aplicadas dos veces tienen como resultado 0.

Por ejemplo, si tomamos la negación, "no es cierto que..." y volvemos a hacer la negación de esto, a diferencia de lo que se suele enseñar (que dos negaciones valdrían una afirmación), aquí el resultado es "cero" (como elemento neutro). Por lo tanto, los productos de cada operación a, b, c consigo misma ( aa, bb, cc) son equivalentes, iguales a 0.

Por ejemplo, como vimos en el ejemplo de los números, si al principio tenemos 1, entonces luego de aa seguirá habiendo 1 (si la operación es el cambio de signo, entonces partiendo de 1 tendremos -1, y luego, haciendo funcionar nuevamente el menos sobre el menos, volveremos de nuevo al 1 del comienzo).

Lo que el esquema también representa es que la secuencia de las operaciones a y b nos da c, y que b y c nos da a, y que c y a, nos da b.
Finalmente, Lacan aplasta el tetraedro sobre el plano (al modo de los cuadrados que vimos anteriormente) del siguiente modo:

Es la misma estructura que teníamos en el tetraedro (el punto mediano, no tiene privilegio alguno, no es un cruce), pero tiene la ventaja de facilitar ver la relación de proporción, que Lacan escribe tan "simplemente" como:

como algo que funcionaría según la ley del grupo de Klein, lo que permitiría establecer relaciones entre dicho grupo y la función de la metáfora.
Antes de avanzar sobre esa propuesta de relación, veamos al respecto algunas cuestiones más sobre aplicaciones de estructuras algebraicas.

La definición de estructura con la que hemos abordado el grupo de Klein pone en juego un solo conjunto. Pero también se pueden configurar las cosas para varios conjuntos: "El objeto del algebra es el estudio de las estructuras determinadas por la formulación de una o varias leyes de composición, internas o externas, entre elementos de uno o varios conjuntos" ⁽²⁾. Las dos nociones que son inseparables de la noción de estructura son la de isomorfismo y la de representación.

El grupo de Klein es un buen ejemplo para dar cuenta de la noción de representación.
Como vimos en la definición que dimos del mismo a partir de su conjunto axiomático y su tabla de Cayley, el grupo de Klein es un grupo "abstracto".
Compuesto de un alfabeto que comprende tres letras I, a, b, su sintaxis no comporta más que cuatro palabras I, a, b, y ab (o ba) y su "gramática" es la tabla de relaciones que mencionamos antes.
Una "representación" de ese grupo consiste en dar una "significación" a cada elemento del mismo, hacer que objetos concretos se combinen como los elementos del grupo abstracto (que es lo que vimos con los ejemplos de los números o las 4 letras), lo que constituiría la "semántica" de ese lenguaje.

El isomorfismo, por su parte es cuando dos grupos son representaciones del mismo grupo abstracto, es decir, que tienen la misma estructura. Eso significa que sus elementos pueden ponerse en correspondencia biunívoca.
Por caso, los dos ejemplos que desarrollamos (el de los números y el de las 4 letras), son isomorfos ya que son representaciones del mismo grupo abstracto.
Podemos graficar esto del siguiente modo:

A partir de estas explicaciones, Barbut señala que las matemáticas pueden pensarse como un "instrumento de comunicación".
Gracias a las tres nociones vinculadas de estructura, representación e isomorfismo, los seres humanos que ejercen su actividad en dominios muy diversos podrían comprender y reconocer la identidad de la combinatoria de sus actos, sus gestos y las operaciones que realizan. Con esa perspectiva, presenta ejemplos de otras realizaciones del grupo de Klein.

Un ejemplo es la aplicación sobre lógica proposicional, con variantes de la negación.
Consideremos proposiciones P, ligadas por las conectivas "o" e "y", y sobre las que operamos con la negación N.
Podríamos escribir P = ( A y B ) o C , donde A, B, C son proposiciones, y aplicar la negación N del siguiente modo:
NP = ¬ [ ( A y B ) o C ] = ( ¬A o ¬B ) y ¬C.
Es decir, la negación de una proposición compleja como combinación de la negación de las proposiciones elementales que la constituyen más el intercambio los conectivos "y" y "o", es decir, la dualidad de las leyes de De Morgan ⁽³⁾.

Si ahora definimos una negación R que actúe sobre las proposiciones elementales, pero sin cambiar los conectivos, tendremos R como RP = (¬A y ¬B) o ¬C)
Y si definimos otra negación S donde se cambian los conectivos, pero sin negar las proposiciones elementales, tendremos S como SP = ( A o B ) y C)
Lo que resulta de esto es lo siguiente: RS = SR = N
Es decir, S seguido de R, o R seguido de S, da la negación N (puesto que las hemos definido como componentes de N).
Y como es claro que RR = SS = NN = I, donde I consiste en no cambiar nada, cada una de las operaciones es involutiva, y tenemos un nuevo grupo de Klein esta vez con una representación mediante operaciones de lógica rudimentaria.

Barbut presenta otras aplicaciones, por ejemplo, la que utiliza Piaget en su "Tratado de lógica". Para Piaget, las matemáticas pueden considerarse como axiomatización de las estructuras operatorias del sujeto.

El grupo de transformaciones de Piaget, es decir, el grupo constituido por las transformaciones de "identidad", "inversión", "reciprocidad" y "correlación" piagetianas (en particular las operaciones formales, como las del ejemplo anterior con la lógica proposicional), que Piaget detecta alrededor de los 11 o 12 años, es precisamente, un "grupo de Klein". El examen de estas estructuras de bases le resulta fundamental con vistas a "establecer si tienen alguna relación con las actividades del sujeto o si, por el contrario, se presenta como una especie de arquetipos esencialmente transcendentales" ⁽⁴⁾.

Encontraremos ejemplos del grupo de Klein, por ejemplo en su análisis de las experiencias obtenidas en la manipulación de los objetos, donde cada estado posible del objeto es caracterizado por dos calificativos (forma y color) y cada uno de estos calificativos tiene a su vez dos valores posibles.
Tendremos entonces dos operaciones: cambio de forma y cambio de color, y la composición de ambas, lo cual puede esquematizarse del siguiente modo

Lévi-Strauss hace lo propio también en "Las estructuras elementales del parentesco" ⁽⁵⁾ cuando, para explicar el sistema de "clases" en la sociedad Kariera (una tribu de Australia), que se divide en cuatro clanes: Banaka, Karimera, Burung, Palyeri. Esta división rige, entre otros, los matrimonios y las filiaciones. Una persona Banaka se casa con una Burung y una Karimera con una Palyeri. Respecto a la descendencia, las hijas o hijos de un hombre Banaka y una mujer Burung son Palyeri, mientras que los hijos de un hombre Burung y una mujer Banaka son Karimera. Del mismo modo, los descendientes de un hombre Karimera y una mujer Palyeri son Burung, y los de una mujer Karimera y un hombre Palyeri son Banaka.

Para ejemplificar esta estructuración, Lévi-Strauss utiliza una analogía con lo que podrían ser los cruces entre unas "familias" francesas (los Dupont y Durand) que viven en diferentes ciudades (Paris y Bordeaux), esquematizado del siguiente modo:

Ver en "Las estructuras elementales del parentesco", Editorial Paidós, página 211.

Todas las estructuras de grupo como el de Klein tienen en común la definición siguiente: "un conjunto provisto de una operación binaria, asociativa, que tiene un elemento neutro y tal que cada elemento admite un inverso". Y en cada una de esas estructuras se pueden definir subgrupos y un grupo cociente.

Barbut señala el contraste entre la "pobreza" del vocabulario y la sintaxis de las estructuras matemáticas en comparación con la "complejidad" de la sintaxis de las lenguas naturales, como un caso extremo de oposición.
"La gran eficacia de los modelos matemáticos se paga con una reducción de los fenómenos a los que se aplican, a una simplicidad que raramente corresponde a los objetos de las "ciencias humanas".

Volvamos entonces a los desarrollos de Lacan y la función de la metáfora

3 - Metáfora e Inconsciente

Lacan señala que la figura del cuadrilátero (del grupo de Klein) es algo que la noción de relación proporcional podría eventualmente recubrir.
La relación proporcional A/B=C/D es una de las estructuras que funcionan "según la ley del grupo de Klein" (68).

Esto abre una pregunta sobre la función de la metáfora, que Nassif explicita en su reseña de esta sesión, en el sentido de que "esta estructura permite entonces traducir la función de la metáfora, que he introducido bajo la forma de una relación proporcional" ⁽⁶⁾ (página 11 del segundo número de "Lettres de l'École Freudienne de Paris"), y que JAM explicita en sentido contrario, agregando la “corrección” de que la metáfora seria “una estructura no proporcional” (68). Estas diferencias sobre la “proporcionalidad” remiten, en realidad, a la cuestión de la homogeneidad o heterogeneidad de los términos de la operación. Por otra parte, ni uno ni otro explicitan como funcionaría esa "traducción" de la relación proporcional a la estructura de grupo.
Si lo intentáramos, lo primero que habría que precisar es que los elementos de esa relación de proporción a/b = c/d, deberían remitir a operaciones antes que a elementos transformados por esas reglas. Además, una de las cuatro letras debería corresponder al elemento neutro - por ejemplo la d - para poder transformar la relación de cocientes a una equivalencia de productos a.d = b.c, donde si d es el neutro, queda a = b.c, que puede semejar la regla de asociatividad del grupo de Klein (sin que podamos verificar las otras dos combinaciones de las operaciones).

En la fórmula de la metáfora, en cambio, las letras S, S' y s, no remiten a operaciones sino a los elementos que participan de en esas operaciones (significantes y significado). Habría que precisar cuales son esas operaciones (por ejemplo, podriamos distinguir una operación de sustitución o cambio de lugar, que se escribiría como S/S', y otra operación podría ser la producción del efecto de significado, que se escribiría como S/s).

La metáfora presenta la siguiente estructura: S, un significante, en posición metafórica o de sustitución, respecto a otro significante S', y algo que se produce ahí - en la medida en que el vínculo de S' con S se conserva como posible de revelar - una nueva significación, un "efecto de significado". En suma, dos significantes (S, S'), dos posiciones para uno de esos significantes (S') y un cuarto elemento heterogéneo "s", "efecto de significado" (68), resultado de la metáfora

.

S, en la medida en que llega a reemplazar a S', deviene el factor de un S(1/s), que es lo que Lacan llama "efecto metafórico de significación" (68)

Esta estructura es fundamental para explicar la estructura del inconsciente.
En el momento considerado como primero, original, de lo que es la represión, se trata de un efecto de sustitución significante (de un origen lógico) donde "el substituto tiene por efecto sub-situar aquello a lo cual se substituye" ⁽⁷⁾ (69).
Lo que resulta, por efecto de esta sustitución, en la posición que se cree estar borrada, está sencillamente sub-situado - que es el modo en que Lacan traduce (en este momento), lo Unterdrück de Freud.

Lo reprimido solo está escrito en el nivel de su retorno. Es en tanto que el significante extraído de la fórmula de la metáfora queda vinculado en la cadena, con lo que constituyó el sustituto, que palpamos lo reprimido, es decir, "el representante de la representación primera en tanto que está ligada al primer hecho - lógico - de la represión" (69).
El S, en tanto resurge para permitir el retorno del S' reprimido, resulta “representar al sujeto del inconsciente” a nivel de algo diferente, como un efecto de significación, que se llama “síntoma” (69).

Esta fórmula de cuatro términos, esta célula donde aparece “la dificultad para establecer una lógica primordial del sujeto”, viene a confluir con lo que, desde otras disciplinas que llegaron a un punto de rigor muy superior (particularmente la de la lógica matemática), se expresa en esto: lo insostenible de que haya un “universo del discurso”. Lo propio de esta falla, que se manifiesta en ciertos puntos de paradoja, es que “el universo del discurso no se cierra” (69).

Para Lacan, nada indicaría que una estructura tan fundamental como el grupo de Klein no permita soportar, de alguna manera, la exigencia de "dar su estatuto estructural al inconsciente”.
¿Con qué?, con el “cogito cartesiano" (70).

3 - S (Ⱥ) y efecto de verdad

Lacan señala que su interés en el “cogito” cartesiano radica, por un lado en su presentación como aporía, una contradicción radical con el estatuto del inconsciente y las discusiones sobre el supuesto fundamento de la consciencia de sí.
Por el otro lado, como ya lo ha señalado en varias ocasiones, porque la promoción inaugural del sujeto del cogito tiene un carácter decisivo en el advenimiento de la ciencia.
Si retomamos, una vez más, la definición del significante como lo que representa a un sujeto para otro significante, podemos escribirla de la siguiente manera

Lacan asocia el S(Ⱥ) (que ubicaba del lado de las respuestas, en el nivel de la cadena superior del grafo del deseo) con la segunda posición del significante, es decir, en tanto "el significante por el cual todos los otros significantes representan al sujeto". Y como la batería de los significante, en cuanto es, está por eso mismo completa, ese significante "no puede ser sino un trazo que se traza de un círculo sin poder contarse en él, simbolizable por la inherencia de un -1 al conjunto de los significantes" ⁽⁸⁾.
Sería el equivalente del "1 en más" - que es también lo que falta en la cadena significante - en tanto, justamente, "no hay universo del discurso" (71).

Es en tanto que tratamos al lenguaje, y al orden que este nos propone como estructura, por medio de la escritura, que podemos "valorar lo que resulta de la demostración, en el plano escrito, de la no existencia de este universo del discurso"(72).

En la cadena significante - que podemos considerar hecha de toda la serie de letras que existen en una lengua - para que una letra pueda hacer las veces de lugar teniente de todas las demás, se requiere que dicha letra se tache allí. Esta barra de la tachadura del Ⱥ, entonces, es giratoria, afecta a cada una de las letras que hemos insertado en la cadena, es la función del "Uno en más" entre los significantes. Pero ese significante, lo evocamos como tal, por poco que lo pongamos fuera del paréntesis - donde funciona la barra, siempre lista para suspender el uso de cada significante cuando se trata de que se signifique a sí mismo. La indicación significante de la función del "1 en más" es lo que se manifestará como “intervención directa sobre la función del sujeto” (73). .

En la medida en que el significante es lo que representa al sujeto para otro significante, todo lo que hagamos que se parezca a ese S(), responde a la función de la interpretación, que habrá de juzgarse por la intervención en la cadena, de ese significante que le es inmanente como "1 en más", susceptible de producir ese "efecto de metáfora" (73).

La interpretación opera por un "efecto de significación", que debe precisarse al nivel de su estructura lógica.
Este "efecto de significación" se especifica, y debe delimitar la función de la interpretación, en el análisis, como un "efecto de verdad" (73).
Pero ese "efecto de verdad" no prejuzga de "la verdad de la interpretación", es decir, si puede adjudicársele al significante de la interpretación misma el índice de "verdadero" o "falso".
Ese significante hasta aquí no es más que un significante en más, significante de alguna falta, como faltando en el universo del discurso, cuyo efecto, en tanto consecuencia en la cadena significante, va a ser un "efecto de verdad".

La reducción de la función de la metáfora a la simple relación de proporcionalidad (A/B) = (C/D) lleva a la idea de que la interpretación estaría abierta "a todos los sentidos", por suponer que tendriamos S/S, es decir, el significante "representándose a si mismo". Justamente, la interpretación no está abierta a todos los sentidos porque "el efecto de la interpretación" es aislar en el sujeto un "kern" de sin sentido. "La interpretación es una significación", pero no cualquiera. Viene a ocupar el lugar de S e invierte la relación por la cual, en el lenguaje, el significante tiene como efecto al significado. "El efecto de interpretación es el surgimiento de un significante irreductible" ⁽⁹⁾.

Notas

(1) Marc Barbut, "Sur le sens du mot structure en mathématiques", publicado en "Les Temps Modernes" n° 246 páginas 791-815, noviembre 1966.
Republicado en "La Lysimaque. Cahiers de Lectures Freudiennes" n° 10.
Hay traducción al castellano de Juan Bauzá, "Acerca del sentido del término estructura en matemáticas"

(2) Nicolas Bourbaki, “Algebra”, Cap. 1 de "Estructuras algebraicas"

(3) En su trabajo sobre el silogismo y las relaciones lógicas, De Morgan analiza y propone simbolizaciones para el converso y el contradictorio de su relativo y demuestra que el converso o el contradictorio o el converso del contradictorio de cada una de esas combinaciones es a su vez una combinación de una de las especies consideradas.
August de Morgan "On the syllogism, no. IV. And on the logic of relations".
Marta y William Kneale, "El desarrollo de la lógica", Editorial Tecnos

(4) Jean Piaget, “Ensayo de lógica operatoria”, Editorial Guadalupe

(5) Lévi-Strauss, “Las estructuras elementales del parentesco”, Editorial Paidós, página 211

(6) Jacques Nassif, "Compte rendu du séminaire "La logique du fantasme"", "Lettres de l'École Freudienne de Paris", Numéro 2, avril - mai 1967 , página 11; traducción al castellano de RP de la sesión 14-12-66

(7) Juego de palabras con la homofonía en francés: "substitué" ("sustituido") - "subsitué" ("sub situado")

(8) Jacques Lacan, "Subversión del sujeto y dialéctica del deseo", Escritos 2, Editorial Siglo XXI, página 779

(9) Jacques Lacan, El Seminario, Libro XI "Los cuatro principios fundamentales del psicoanálisis", Editorial Paidós, página 258