Sesión del 12 de diciembre 1972
"De la anécdota a la lógica"

Notas de lectura y comentarios
La ubicación de las citas es indicada con número de página de la edición Paidós

1 - Diagrama de las fórmulas de la sexuación

Comenzamos hoy con la primera sesión de enero de 1972, titulada en la edición Paidós “De la anécdota a la lógica”.
La vez pasada, para subrayar el uso que hace Lacan de la particular afirmativa en el sentido “máximo” (a diferencia del sentido “mínimo” que adopta Aristóteles y continúa la lógica en general), habíamos ordenado la escritura con los cuantificadores, manteniendo el orden AEIO de las fórmulas

En la posición de la particular afirmativa puse la fórmula de la existencia de la excepción, en tanto escritura explícita del sentido “máximo” de dicha particular, es decir, el sentido de que si “algunos” validan los términos de la universal, ese mismo “algunos” está implicando que “algunos” otros no.

En el diagrama que Lacan dibuja en el pizarrón al comienzo de esta sesión del 12 de enero, la distribución de las fórmulas cambia, puntualmente entre lo que sería las posiciones de la universal y la particular afirmativas (las posiciones de A y de I)

Diagrama de fórmulas de la página 37

La escritura de la universal y de la escritura de la excepción, del lado izquierdo, invierten su posición. Y del lado derecho se mantienen igual.
Con lo cual, las escrituras con el existencial quedan en la línea superior, y las escrituras con el cuantificador universal quedan en la línea inferior.
Veremos, en la tercera parte de esta sesión (a partir de la página 43), la secuencia de escritura que hace Lacan, que es el que estuvimos viendo la vez pasada.
Reproduzco ese recorrido, tal como lo dibujé, la vez pasada sobre el diagrama ajustado al cuadrado de Aristóteles, y reordenado en función de cómo ubica las fórmulas Lacan en esta sesión:

Secuencia sobre el diagrama similar al cuadrado de Aristóteles	Secuencia sobre el diagrama que Lacan escribe en el pizarrón en esta sesión (y también en la siguiente)

2 - Hipótesis de partida

A este trabajo de escritura de fórmulas refiere Lacan al señalar, al comienzo de la sesión que no debería sorprendernos encontrar en la lógica “un modo de articular los valores sexuales que el inconsciente demuestra” (37).

Todo lenguaje conlleva una organización gramatical con sus sistemas de género. Como vimos en la sexta de nuestras reuniones, el género, en tanto categoría gramatical, cumple una función de clasificación de objetos que la lengua designa. Así, en todas las lenguas encontramos el funcionamiento del género masculino y femenino. Por ello, “que al comienzo estén el hombre y la mujer es ante todo, asunto del lenguaje” (38). A todo sujeto hablante, le corresponderá el género masculino o el femenino, será “él” o “ella”. Y como bien ironiza Lacan, el caso del hermafrodita requerirá jugar con mayor o menor agudeza el deslizamiento a uno u otro de estos géneros ya que no se le podría aplicar el neutro, sea “ello” o “eso”, ya que en ese caso sería arrastrado fuera de la clasificación de los humanos, al ámbito de las cosas inertes.

Esta bipolaridad de valores sexuales, propia del funcionamiento del lenguaje, ha sostenido y suturado lo tocante al sexo.
Y no solamente el sexo, sino también las teorías del conocimiento y la concepción del mundo percibido “en el lugar del otro valor sexual” (38), como lo analiza Lacan en la tercera charla en Sainte Anne (la del 2 de enero 1972, titulada “hablo a las paredes”), a partir de su versión modificada del poema de Tudal. Recordemos que esa modificación ubicaba el “mundo” entre el hombre y el amor (siendo el “amor” el primer obstáculo que había entre el hombre y la mujer). Ese “mundo” recubría “el territorio ocupado primero por la mujer, ahí donde escribí M en la parte de la derecha (en la botella de Klein). Por esto, aquél que llamaremos hombre en ese ese caso se imagina que conoce el mundo, en sentido bíblico. Este conocimiento es simplemente esa especie de anhelo por saber quién viene al lugar de lo que está marcado con la M de mujer" (1).

Sin embargo, como lo vino sosteniendo en las sesiones previas del seminario, en todo abordaje riguroso del encuentra sexual, la experiencia analítica revela “el desvío, el desfiladero, la barrera de la castración” (38)
El desafío que vuelve a plantearse es el de “no reducir la castración a la anécdota” (38), a los solos relatos de amenaza o censura.

Ya en sus primeros seminarios Lacan señalaba que, a diferencia del tratamiento del complejo de Edipo, “en cuanto a la castración, no se encuentra nada parecido, Freud nunca llegó articular plenamente su sentido preciso, la incidencia psíquica precisa de este temor, o esta amenaza, o esta instancia, o este momento dramático, todas estas palabras se pueden mencionar igualmente, con sus interrogantes, a propósito de la castración” (2).

En la sesión anterior (“La función Φx“) señalaba su esperanza de que con la ayuda de las letras con las que trabaja la escritura de las fórmulas de la sexuación, de la función Φx, se pueda formalizar este paso necesario por la castración.
Para Lacan, la castración es estructural, y “la estructura es lógica” (38)

3 - Real lógico

¿Qué significa, o implica, encontrar en la lógica un modo de articular la relación del significante al goce? ¿Qué relación hay entre la lógica formal y “lo que el inconsciente demuestra”?
Podríamos preguntarnos incluso que relación hay entre el objeto de la lógica y el del psicoanálisis.

La respuesta de Lacan en este momento es que el objeto de la lógica es “lo que se produce por la necesidad de un discurso” (39) (“ce qui se produit de la nécessité d’un discours”).
Tenemos aquí 4 términos a precisar en sus relaciones: “lo que”, “se produce”, “la necesidad” y “un discurso”. Lo analizaremos al trabajar la próxima sesión, en cuanto a la “necesidad” y su relación con la repetición y la inexistencia.
Pero aquí lo podríamos simplificar en relación con la lógica, en cuanto la podamos plantear como un sistema de reglas de inferencia por el cual se derivan conclusiones a partir de premisas o hipótesis iniciales. En esas reglas sintácticas tenemos un discurso y la necesidad del proceso lógico, que produce sus consecuencias o demostraciones. Obviamente, la lógica puede cambiar completamente de sentido según cuál sea el conjunto axiomático o de premisas iniciales. De ahí que “todo discurso toma su sentido a partir de otro discurso” (39).
Pero lo que le interesa a Lacan, en esta ocasión (como en otras), son los impasses de la lógica, de estos discursos, pues para él es ahí que se afirma lo real.

Al respecto Lacan trae a colación una instancia clave en el desarrollo de la lógica formal que es el teorema de Gödel. Este teorema se constituye como un momento conclusivo respecto de las ambiciones de conquista de la lógica en cuanto a conformar una red de discurso que se articularían en un universo que podría recubrir todo lo que podía ser ofrecido al conocimiento.

Este teorema permite palpar, en un dominio que en apariencia era el más seguro, “lo que se opone a la integra captación del discurso en la exhaución lógica, e introduce en esta, un hiato irreductible. Eso es lo que designamos como real” (39)
Para Lacan, ese real debe ser privilegiado por los analistas ya que es el “paradigma” de lo que puede surgir del lenguaje. En ese real propone encontrar “el modelo (…) de lo que entrega la exploración inconsciente” (40).

4 - Teorema de Gödel

Veamos cual es la relevancia del teorema de Gödel concerniente a la aritmética en cuanto a demostrar que “habrá siempre en el campo de la aritmética algo enunciable en los términos propios que la componen que no estará al alcance de lo que ella se plantea a sí misma como el modo de la demostración que debe considerarse admitido” (40), y cuál es la relación con el psicoanálisis.

Podríamos decir que hasta fines del siglo XIX la intuición dominante en el campo de la matemática y la lógica era que lo verdadero y lo demostrable podían coincidir.
La consistencia es uno de los criterios de verdad lógicos, es decir, uno de los criterios a los que se puede apelar para definir la verdad de un sistema sin apelar a criterios empíricos. La consistencia implica que no sea posible deducir, a partir del mismo sistema de axiomas, dos teoremas que sean contradictorios (es decir que no pueden ser ambos verdaderos a la vez, pero tampoco pueden ser falsos a la vez). Cuando se llega a una contradicción, el sistema se muestra inconsistente.
Ahora bien, para poder emitir un juicio sobre la consistencia de un sistema, también es necesario poder probar que todas las deducciones posibles han sido hechas, pues de lo contrario no es seguro que no aparezca una contradicción en alguna deducción aun no realizada. Lo cual plantea el problema del "Todo" del sistema. En ese sentido, la prueba habitual de la consistencia solo establece la consistencia relativa de cada sistema.
Con lo que Gödel viene a acabar es con la ilusión de lograr algún día la prueba absoluta de la consistencia de algún sistema.

Con Descartes asistimos al establecimiento de las condiciones metafísicas de la “mathesis universalis” (ciencia universal basada en el método matemático), en tanto "una", desde su tiempo inicial.
La exactitud de las verdades matemáticas implica su univocidad radical. La cuestión neurálgica se ubica al nivel de las relaciones entre signo y referente, es decir, la verdad solo es si es una, y solo puede ser una siendo biunívoca (signo y referente).
Esta exigencia de univocidad irá mutando con el tiempo en otras formulaciones. Allí donde Descartes consideraba estéril la búsqueda de una lengua universal, y priorizaba sus “figuras” de la razón, Leibniz se consagra al proyecto de la “característica universal”, una lengua formal universal, que consiste en un sistema de signos con respecto al cual, lo que es pensado, debe mantener una relación biyectiva.

Y con su “conceptografía” Frege pretende construir una lengua formal para el “pensamiento puro” sobre el modelo de la aritmética. Frege busca fusionar los signos que introdujo con los signos matemáticos en un solo formulario. En suma, es en tanto habría un isomorfismo estricto entre el nivel formal y el nivel intuitivo que lo formal podría ser tratado independiente de todo reenvío o convocatoria al contenido en el transcurso de la demostración. Frege espera dar cuerpo al conjunto de todos los conceptos, lograr que ese conjunta exista independientemente de los conceptos que vengan a poblar su dominio.

Pero este intento de definir todos los conceptos matemáticos a partir de los conjuntos se encontró con la paradoja de Russell.
Bajo ciertas circunstancias un conjunto definible no forma un conjunto completo. Una cosa es el dominio (es decir, el conjunto definido en intensión), y otra cosa son los elementos que pueblan dicho dominio (el conjunto en extensión).
Antes de asignarle un argumento a una función, la misma ya posee un dominio, que es uno a título de ser el suyo. Y la pluralidad de los elementos que pueblan ese dominio en cierto instante, no puede ser tomada como equivalente al dominio mismo.
Es decir, un dominio posee un cierta existencia independientemente de los elementos que colectiviza. Esa es la base para que pueda haber una clase vacía, un conjunto vacío.
La paradoja surge con predicados que no pueden ser predicados de sí mismos, en cuyo caso su dominio, al no ser un objeto del dominio en cuestión, no se encuentra constituido como un objeto por ese mismo predicado, es decir, no es tan uno.
Esta paradoja puso en crisis las ambiciones de formalización del conjunto de la matemática a partir de la teoría de conjuntos.

A partir de este impasse, se desenvolvieron dos grandes posiciones entre los matemáticos.
Por un lado, la corriente llamada intuicionista, encabezada por Brouwer, que cuestiona la idea de que las leyes de la lógica clásica tengan una validez absoluta sobre cualquier tema que se aplique. Para Brouwer, el uso que había hecho Cantor del infinito en acto era absurdo e injustificado y toda su teoría no era más que un juego de palabras sin sentido. Esta corriente proponía un programa para terminar con la “crisis de los fundamentos”, siendo uno de sus puntos importantes, limitar considerablemente la extensión del principio del tercero excluido.

Por el otro lado, Hilbert renueva la ambición formalista pero buscando su fundamento en una teoría más elemental como es la aritmética.
En su famosa conferencia de agosto de 1900, reseña los 23 problemas que deberían ocupar a los matemáticos, en particular el de la hipótesis del continuo y el de la consistencia de los axiomas de la aritmética, que dio lugar al llamado “programa” de Hilbert. Su propuesta fue desarrollar una teoría de la demostración segura y libre de paradojas, una “metamatemática” que trataría a los enunciados y los razonamientos matemáticos como si fueran simples secuencias de símbolos sin significado, a los que manipularía algorítmicamente. En otros términos, la inferencia de contenido es reemplazada por la manipulación formal de signos siguiendo reglas. No solo el signo está al principio, sino que solo hay signos. La única condición para esto es la obligación de dar una demostración de no contradicción.

Con su reflexión sobre el infinito, Hilbert sabía que al mantener una ligazón entre signo y referencia, el infinito vendría a jugar su partida en las inferencias y se terminaría, tarde o temprano, en las mismas paradojas.
La única manera de mantener el infinito aparte de los cálculos literales era rompiendo el lazo que une el signo (megamatemático) y su contenido.

Es en este contexto que Gödel, en 1931, plantea su teorema de incompletud.
Un sistema es considerado completo en el caso de que es posible deducir de él una prueba de cualquier proposición o de la negación de cualquier proposición.
Será, en cambio, incompleto, si para lograr esa prueba debe recurrirse a supuestos adicionales.

Lo que hace Gödel es demostrar la incompletud de los sistemas formales por la vía de los indecidibles. Los puntos de indecidible hacen al sistema incompleto.
En otros términos, Gödel reúne los conceptos de consistencia y completud, demostrando que la aritmética, o cualquier otro sistema que la contenga, no puede ser a la vez consistente y completa. El precio de la consistencia es la incompletud.
Técnicamente, lo que Gödel llega a generar es una situación en que la única manera de demostrar que p es verdadero es que no-p también lo sea, en cuyo caso el sistema es inconsistente; o bien que tanto p como no-p son indemostrables, en cuyo caso el sistema es incompleto. La incompletud permite la indecibilidad abriendo así la puerta a la convocatoria de otros axiomas o sistemas para definir lo indecidible de cierto sistema.

Así, se podrían tener sistemas completos con puntos de indecibilidad en los que p y no-p son a la vez.
De esta manera se obvia el principio de no contradicción: el Otro acepta la contradicción.
Este indecidible de la incompletud es lo que vemos como el carácter de "no toda" de la verdad (los efectos de verdad vienen por el lado de la incompletud, en tanto que la lógica es la que revela la inconsistencia del Otro).

En suma, el teorema demuestra que, contrariamente a una intuición muy común entre los matemáticos, hay una distancia insalvable entre la verdad y lo demostrable.
Establece una limitación interna como propiedad intrínseca de los sistemas formales que posean un mínimo de complejidad.
El conjunto de esas fórmulas no dispone de un cierre que fuese su propiedad intrínseca y a partir de la cual la separación entre el dominio intuitivo y el dominio formal pudiese sostenerse únicamente desde el punto de vista formal.
La ambición de un cierre simbólico que sostuviese como una unidad su propio sistema simbólico tropieza definitivamente.

En el sistema fregeano era absolutamente necesario que exista, en tanto que cerrado sobre sí mismo, el dominio de la función. Pero la paradoja de Russell pinchó esa burbuja.
Si en lugar del “teorema de Gödel” hubiese surgido un “teorema de Hilbert” demostrando la no contradicción y la completud, entonces hubiera podido existir, con toda la fuerza del término, un signo que fuera pura opacidad, que no reenviaría, de modo directo o indirecto, a ninguna otra cosa que a signos de la misma naturaleza. Pero no basta con una decisión metafísica para despedir definitivamente al infinito. La más mínima cuantificación que nos lleva a escribir que tal letra vale para “todo” número corre el riesgo de reintroducirlo sin vueltas. Y de esta reintroducción, es nuevamente y siempre la univocidad la que paga el costo.

La tentativa de romper con el Otro mundano (después de romper con el Otro divino) para sentar un Otro simbólico finalmente estrictamente unívoco continúa tropezando contra una roca que impide establecer esa univocidad sin falla, aún en ese nivel de reducción.
El teorema de Gödel señala que esa roca no es un error en el rigor necesario de las demostraciones sino un elemento de estructura de la racionalidad ella misma.
Es un real progreso en la cuestión de los fundamentos en cuanto enuncia una propiedad, de carácter negativo, pero de la que no se tenía idea en la medida en que el árbol de la representación escondía admirablemente el bosque de la literalidad insensata que se ponía en obra en el transcurso de todo ese proceso representativo.

En “La ciencia y la verdad”, Lacan señalaba que la lógica moderna “es la consecuencia estrictamente determinada de una tentativa de suturar al sujeto de la ciencia, y el último teorema de Gödel muestra que ella fracasa, lo cual quiere decir que el sujeto en cuestión sigue siendo el correlato de la ciencia pero un correlato antinómico, puesto que la ciencia se muestra definida por el no-éxito del esfuerzo por suturarla” (3).

Pero creo que lo interesante es que en este caso, no solo tenemos un fracaso o impasse de la lógica, como podría ser la paradoja de Russell, sino una demostración de un imposible.
En esta sesión del 12 de enero 1972 Lacan señala el interés que los analistas deben tener por lo real como “lo imposible en tanto se revela por la captación misma del discurso lógico”, en tanto “paradigma” de lo que puede surgir del lenguaje, el modelo de “lo que entrega la exploración del inconsciente” (40).

En la próxima reunión comentaré las críticas de Guillermo Martínez y Gustavo Piñeiro, refiriéndose a las primeras páginas de esta sesión (de la 37 a la 40), ya que nos ofrece la ocasión para precisar el sentido de estructura y lógica en psicoanálisis, y como relacionar los conceptos de consistencia e incompletud, en la experiencia analítica.

Notas

(1) Jacques Lacan, "Hablo a las paredes", Editorial Paidós, página 112

(2) Jacques Lacan, Seminario IV, “La relación de objeto”, sesión del 13 de marzo 1957, “Del complejo de castración”, Editorial Paidós, página 217

(3) Jacques Lacan, "La ciencia y la verdad", Escritos 2, Editorial Siglo XXI, página818.

(4) Idem

(5) Idem

(6) Jacques Lacan, "Instancia de la letra o la razón desde Freud", Escritos 1, Editorial Siglo XXI, página 463

(7) Jacques Lacan, Seminario IX "La identificación", sesión del 10 de enero de 1961

(8) Jacques Lacan, El SEminario, Libro X, "La angustia", Editorial Paidós, página 98

(9) Jacques Lacan, Seminario XVIII "De un discurso que fuera del semblante", Editorial Paidós, página 63

(10) Idem, página 100

(11) Aristóteles, "Analíticos primeros", página 135

(12) Jacques Brunschwig, “La proposition particulière chez Aristote” publicado en el décimo (y último número) de los “Cahiers pour l’analyse”
Una traducción al castellano, “La proposición particular y las pruebas de no-conclusividad en Aristóteles”, fue incluida en el número 25 de “Referencias en la obra de Lacan”