Sesión del 19 de enero 1972
"De la necesidad a la inexistencia"

Notas de lectura y comentarios
La ubicación de las citas es indicada con número de página de la edición Paidós

Esta sesión, la segunda de enero del 72, titulada “de la necesidad a la inexistencia”, comienza con una definición de la lógica: “el arte de producir una necesidad de discurso” (48).

1 - Lógica y modelo

Como vimos la vez pasada, las críticas de Guillermo Martínez se basan en dos prejuicios muy expandidos.
Por un lado, la confusión entre lógica y modelo o sistema.
Lo que sutura, y por eso conforma, el modelo o sistema – por ejemplo, los modelos de psicoterapia que veíamos la vez pasada, el EMDR, la personalidad Link, etc. – es que no hay “causa” que no sea homogénea a la descripción del modelo o sistema. Tenemos un sistema, y reacomodamos las piezas. Más o menos como ir al mecánico. Podemos hacer arreglos importantes, como rectificar los cilindros del motor, pero es corregir o reorganizar el sistema, al mismo nivel de partida. Incluso hacer un Frankenstein seria manejarnos con los modelos. El problema con los Frankenstein es cuando empiezan a hablar, a tener una subjetividad, es decir, alguna causación heterogénea al armado del sistema.

Por eso la concepción del lenguaje para Martínez, y para las psicoterapias, es la de un medio de "comunicación".
Plantear que el lenguaje es un medio de comunicación es anular la división subjetiva, homogeneizar el registro de las causas (o de las satisfacciones), constituir la común medida de la significación, la realidad y el entendimiento, y por lo tanto, de la "modelización de la subjetividad".
Si el lenguaje es medio de comunicación, cualquier “división subjetiva” se reduce a una "ignorancia" superable. De ahí todas esas frases del tipo “asumir” o “superar”, sea un duelo, un divorcio, un trastorno, o cualquier tipo de problema, a partir de algún par de asociaciones que completen alguna “resignificación”.

Lo que descubre Freud, es que la causa es heterogénea, funciona como una exigencia, una necesidad. Ese es el abc del “ya no creo en mi neurótica” (donde con el “neurótica” no se refería a una persona sino a su propia teoría) que suponía que podía resolverse el síntoma en su correlación con el trauma fáctico; es decir, que suponía que el trauma fáctico y el síntoma eran homogéneos, isomorfos. En la serie “El paciente”, la terapia consiste en ajustar, modificar la conducta o los términos que conforman el motivo de queja o de consulta terapéutica. Por eso se plantea en términos de que el terapeuta pueda “ayudar”, como un mecánico de autos. Como les contaba la vez pasada, se trata de un asesino serial que quisiera dejar de matar. La terapia es convocada para cambiar esa conducta, esa práctica de matar que, para el asesino, se ha convertido en inconveniente. Como cualquier psicoterapia, esa terapia también incluye hablar un poco, describir la conducta con más detalles, y relatar un poco la historia personal, la infancia, etc. Así aparece una serie de violencias y humillaciones sufridas por el paciente/asesino por parte de su padre, que habilitarían la interpretación, en términos de repetición de escenas, de sustitución de las víctimas por el padre. Las personas que este asesino serial mata son personas que de algún modo lo humillan, lo violentan, y con los que se va armando una situación de agresividad y odio, hasta el asesinato. Es decir, estaría matando a gente como sustitutos del padre. Pero esa es la repetición de una escena que no aconteció. Al parecer, llegó a rebelarse contra el padre, pero de modo acotado. Y sus asesinatos “completan” la escena que no ocurrió.
Podríamos compararlo con las “acciones obsesivas” de la paciente de Freud, que repite una escena supuestamente anterior, con ciertas similitudes y diferencias, pero donde también se plantea que esa escena primera, no existe, es “completada”, “corregida”, en la repetición.
Pero el terapeuta de la serie no es Freud, sino un típico terapeuta que piensa que la comunicación existe, que su función es “ayudar” a corregir, modificar una situación más o menos bien descripta o explicada. No se trata de una verdad, de una necesidad lógica, de una compulsión que pone en juego algo diferente. Y es lo que el paciente le demuestra, tipo “acting out”, con su primer logro terapéutico. Con la siguiente persona con la que se arma la escena en que se juega la impulsión a matar, con un tipo que lo maltrata o lo descalifica, cuando llega el momento de matarlo, puede frenar su impulso, y ¿qué hace?, lo secuestra y lo lleva al mismo lugar donde tiene retenido al terapeuta. Algo así como todo un presente para el terapeuta, en la demostración de su logro terapéutico consistente en haber podido “frenar” su impulso, o “modificar” su conducta. Con estos “logros” se va armando el “drama” de la serie, como se imaginarán ahora con dos “secuestrados”, y la “preocupación” terapéutica creciendo, ya que no solo hay que curar al asesino sino también asegurar la vida del nuevo secuestrado .

En el caso de la paciente de Freud, como él mismo señala, no es una situación “grave”. Pero no por eso es menos compulsiva, necesaria, que los asesinatos del paciente de la serie. No puede dejar de repetir sus corridas de un cuarto al otro, con la parada en el medio para llamar a la mucama. Podría ser “tratada” por alguna psicoterapia que funcionara como “ayuda” para tratar de modificar esa conducta. Lo que pone en juego el abordaje de Freud, con las asociaciones de la paciente, y las relaciones que establece entre su acción obsesiva y la noche de bodas, no es lo igual de dichas escenas, sino lo imposible de realizar en la realización de las mismas, lo que no existe como “primera” escena. Esa inexistencia, esa diferencia, funciona como una heterogeneidad que impide que la sutura funcione, complete el “sistema”. La mancha que la paciente “muestra” ante la mucama, en su acción obsesiva, repite una la mancha que dejó el marido con un frasco de tinta roja la noche de bodas, en un lugar inapropiado para “representar” la mancha de sangre que faltó por el fracaso de la potencia masculina para el coito virginal como confirmación de la realización de la relación sexual. Freud mismo señala que la acción obsesiva, tanto “corrige” como mantiene vigente esa “falla”.

Esta dimensión de exigencia, de necesidad, es lo que importa señalar con relación a la lógica.
Los puntos de falla que aparecen en los desarrollos lógicos son la consecuencia del desarrollo de las necesidades lógicas de la formalización en juego, y el fracaso de este para culminar en un cierre homogéneo. Por ejemplo, la paradoja de Russell no deja de poner en juego la heterogeneidad entre la clase como clase y la clase como elemento. No se llega a la “falla” sin un desarrollo lógico necesario. El mismo teorema de Gödel fue la consecuencia de llevar hasta sus últimas consecuencias el planteo lógico de la ambición de Hilbert. Ese teorema demuestra, siguiendo todas exigencias y necesidades del planteo formal de la teoría de la “prueba” de Hilbert, que no podrá demostrar todos los enunciados, que habrá indemostrables. No demuestra cualquier cosa, es el resultado de seguir el planteo formal axiomático y la teoría de la prueba para la consistencia de los sistemas.

Análogamente, podemos decir que Frege llega al concepto de número, siguiendo las exigencias, los pasos formales necesarios para separar el número de las intuiciones y lograr su estatuto como objeto puramente lógico. Toda la primera parte de sus “Fundamentos de la aritmética” (1) es una crítica sistemática de los fundamentos intuitivos del número, un sistemático vaciamiento del estatuto del número como designador de cosas (las cosas que contamos). Luego tenemos todo el desarrollo del concepto de número como un objeto puramente lógico. Y podemos decir que así es como “inventa”, crea, la “paradoja de Russell”. Lo que ocurre es que cuando Frege ya estaba completando su segundo y definitivo tomo de los “Fundamentos de la aritmética", Russell le escribe, luego de haber leído el primer tomo, y le señala la contradicción que surge en la relación entre concepto como clase y como elemento. Esa “paradoja” surge como consecuencia de ese desarrollo. Y luego habrá otros desarrollos para intentar suturar ese punto de falla, eliminar esa paradoja, agregando axiomas y limitaciones al desarrollo lógico para que evitar ese punto.

Si el lenguaje es comunicación, no hay sujeto dividido. SI el lenguaje es una estructura, y esa estructura tiene puntos de contradicción, o de falla, tiene una manera de abordar, de aprehender la realidad que falla, esa falla de la realidad es lo que podemos llamar real, un tipo de “realidad” que no se aprehende en la congruencia de los signos con la realidad, sino en las fallas de esa congruencia. Pero esa falla no deja de aprehender algo, designar algo.

2 - La “Bedeutung” del falo

La lógica, según indica Lacan en esta sesión, es “el arte de producir una necesidad de discurso” (48).
Hay una pequeña modificación respecto de cómo lo planteó en la sesión anterior, cuando dijo que “el objeto de la lógica es lo que se produce por la necesidad de un discurso” (39). En la sesión anterior, por la necesidad del discurso, se producía el objeto de la lógica (a precisar si como “objetivo” de la lógica, o como “referencia”). Ahora se trata de producir esa necesidad de discurso. Es decir, una cierta circularidad entre “lo que se produce por la necesidad” y el arte de “producir una necesidad”, que vamos a reencontrar en la página 50 entre la “necesidad” y la “suposición de inexistencia”.

Ahora Lacan plantea que “la necesidad lógica es el fruto de una producción” (48). Este es el sentido de lo que estuve señalando en los ejemplos anteriores, en la medida en que “nada de una necesidad lógica se manifiesta excepto en la repetición” (51).
El punto de partida, entonces, es la repetición. La necesidad se manifiesta en la repetición. Pero la repetición, en si misma, no nos da la necesidad lógica. A la necesidad lógica, en tanto es una necesidad de discurso, hay que producirla.
Por eso toma un par de ejemplos de repeticiones que podrían suponerse como origen o con su propia autonomía. En primer lugar, toma la referencia a la “Ananké”, una de las diosas primordiales en la mitología griega, que personifica la inevitabilidad, la necesidad, la compulsión y lo ineludible. Los textos órficos la presentan como surgida de la nada, al principio de los tiempos, formada por sí misma como un ser incorpóreo y serpentino cuyos brazos extendidos abarcaban todo el universo, acompañada de Crono, la personificación del tiempo. Justamente por todo esto, Lacan subraya que esa “necesidad” solo comienza con el ser hablante, y que todo lo que pareció producirse desde allí es el hecho de un discurso. Por eso la tragedia, donde los personajes se ven enfrentados contra ese destino inevitable, a causa de la hybris (el orgullo), solo se concretiza como “el fruto de una necesidad que no deja de ser lógica”.

Lacan trata de la misma manera orígenes supuestamente menos míticos, como podría ser la repetición misma de la vida.
Se podría plantear que el origen de la repetición sea la vida, que la vida sea el origen de la necesidad, la productora de la necesidad. Es decir, que la necesidad sea básicamente biológica.

En “La significación del falo” (2), esa necesidad biológica fue planteada como “obliterada“ por la acción del significante, resultando el carácter incondicional de la demanda en tanto esta solo puede ser demanda de presencia o ausencia. El rastro de esa marca en lo que fue lo biológico, o natural, que queda reducido a la demanda, retorna como resto, como un más allá de la demanda, como una condición absoluta, es el deseo. Lo incondicional de la demanda y la condición absoluta del deseo son, lógicamente, equivalentes. Pero no pasamos de uno al otro como una simple negación de la negación (es decir como un retorno al origen) ni tampoco como una negación en términos de síntesis superadora. Lo que resulta de ese pasaje, es la división del sujeto. Un sujeto causado. La acción significante no “traduce” lo biológico, no es un “medio de comunicación” de las necesidades biológicas.

Aquí lo retoma (con sus similitudes y diferencias), al plantear que “la vida misma demuestra no ser más que necesidad de discurso” (51), porque aunque supongamos en esas referencias biológicas lo que nos permitiría referir lo que ocurre con la repetición, solo puede hacerse al elaborar la ficción de “lo que un día hizo al ser vivo capaz de hablar” (51)
¿Como se articula la repetición como necesidad? Con la paciente de Freud tenemos una repetición que se ordena como tal a partir de que ella empieza a hablar, a dar cuenta de la compulsión de dicha repetición. Desde la descripción de lo que hace a las explicaciones de por qué lo haría, y las asociaciones que hace sobre eso. Entonces tenemos la repetición de correr de un cuarto al otro, con la parada frente a la mesa y la llamada a la mucama. Con la asociación de la escena de la noche de bodas se establece una relación entre las escenas. Tenemos dos corridas, entre dos cuartos, que podríamos presentar como una función: correr entre dos cuartos. Y tenemos unos objetos que pueden ser argumento de dicha función, y saturar, o no, dicha función. La paciente es un argumento que da verdad a la función de correr, ida y vuelta, de un cuarto al otro. La mucama no da verdad a esa función, no corre de un cuarto al otro. El marido sí. ¿Qué es lo que está en juego ahí?
Esa necesidad se relaciona con una inexistencia. La falta de "mancha" da cuenta de la relación del falo como tercero en la pretendida relación sexual

Por eso Lacan señala que a “La significación del falo” “no hay nada que corregirle” (53). ¿Cuál es la clave de la vigencia de ese texto?¿Cuál es la Bedeutung del falo?
Lo que plantea Lacan en ese texto es que el falo no representa, el falo designa. Eso es “Bedeutung”. Incluso, antes de ser significante, el falo es signo, “signo de la latencia de que adolece todo significable desde el momento en que es elevado a la función de significante” (3). Es signo de la represión primaria que afecta al cuerpo de lo significable por la acción del significante. Y deviene “el significante de esa Aufhebung misma que inaugura por su desaparición”, pasa a ser significante, ya sea del goce o del deseo (pero no del sujeto).
En su definición primera, como significante, no representa, sino que “es el significante destinado a designar en su conjunto los efectos del significado en cuanto el significante los condiciona por su presencia de significante” (negritas mías) (4).
No funciona en una relación de representación, ya que si representara al conjunto de los significados, pasaría a representar al sujeto ante el resto de los significantes.
Es la “Bedeutung”, el falo "designa" algo. La mancha que falta, en el caso de la paciente de Freud, como resultado de la noche de bodas, es la referencia de la repetición. Hay una significación que envuelve, remite, a algo que falta.

Lacan retoma esto señalando que “el falo denota el poder de la significación” (54). Claro está, ya no se trata del significante del deseo o del goce, sino de la función Φx, cuyo argumento x adquirirá “significación de hombre o de mujer” (54) según el prosdiorismo elegido, es decir, ya sea el “existe” o el “no existe” , ya sea el “todo” o el “no todo”.

3 - La inexistencia

Lo que hay que producir, entonces, “debe considerarse como previamente inexistente” (49). La necesidad, por el hecho mismo de producirla, antes de producirla, solo puede suponerse inexistente.
Refiriéndose a los desarrollos de Frege, Lacan señala que hasta el lógico surge ... después. “La necesidad se manifiesta antes de que el lógico mismo advenga como consecuencia segunda, es decir, al mismo tiempo que la propia inexistencia” (51).
Frege adviene como lógico luego de inventar el concepto de número.

La necesidad es lo que hacemos todos los días al repetir el bricolaje inconsciente de manera incesante.
En la medida en que el inconsciente existe, realizamos en cada instante “la demostración en que se funda la inexistencia como previo a lo necesario” (49).
Como vimos con la paciente de Freud, la inexistencia es lo que está en el principio del síntoma en tanto “inexistencia de la verdad” que el mismo supone. La verdad que falta, y que solo puede ser semidicha.
La única manera de "completar" la verdad sería que haya universo del discurso, que el lenguaje sea un sistema cerrado y homogéneo.

O por el lado de la repetición, tenemos la “inexistencia del goce”, en tanto el pataleo por alcanzarlo demuestra que el goce “opera como necesidad de discursos” y “no opera más que como inexistencia” (50).
El goce no es un punto de realización, opera porque falta, porque no existe.

Llegamos entonces a la pregunta central de esta sesión, al eje de la misma. ¿”Qué es la necesidad que se instaura por una suposición de inexistencia”? (50)
Aquí tenemos esa circularidad que les comentaba al principio, porque la primer respuesta a esta pregunta es que “lo que cuenta no es lo inexistente sino la suposición de inexistencia, que no es más que consecuencia de la producción de necesidad” (50). Es decir, la necesidad se instaura por una suposición de inexistencia, que no es lo inexistente todavía, sino la consecuencia de la producción de necesidad.
No es por las vías previas del goce y la verdad como “la inexistencia adquiere su estatuto, como puede ella inexistir”. Por esas vías tendremos las faltas, las pérdidas.

A lo que Lacan apunta es lo que la “designa” como inexistencia.
No en el sentido de no tener existencia, sino en el de “no ser existencia más que del símbolo que la hace inexistente, el cual existe” (50)
Lacan quiere precisar el símbolo que designa a la inexistencia como inexistencia, que la hace inexistente, porque ese símbolo, sí existe.
Correlacionar la necesidad, articulada a la repetición, a una inexistencia que tiene un símbolo que la designa.
No como una nada, ya que de la nada solo podrían surgir creencias, es decir, la forma de rechazo de la lógica que podría expresarse en la fórmula “seguramente no, pero aun así” (50).

El símbolo que designa la inexistencia la designa como inexistente, la hace inexistente.
Esto se parece a la circularidad de la definición del significante como lo que representa al sujeto ante otro significante, ya que tenemos la inexistencia por dos lados: por un lado es la inexistencia y por el otro el signo de esa inexistencia, que si existe.
Lacan dirá que “la inexistencia no es la nada, es un número que forma parte de la serie de los números enteros” (50).
Es aquí donde empalmamos con el concepto de número de Frege ya que el planteo de Lacan es que Frege es llevado a “fundar el número 1 en el concepto de la inexistencia” (54).
El número 1 será entonces ese signo de la inexistencia, y podríamos decir que es el eje de los desarrollos y análisis de este seminario.
Históricamente, los números se toman por el lado de contar. Esa es justamente la crítica de Frege a la noción de número que manejaba la aritmética hasta ese momento, en la medida en que ese contar liga los números a alguna forma de designación, a la intuición.

4 - El concepto de número

Frege quiere construir una noción de número que sea un objeto pero puramente lógico, quiere independizar la noción del número de la designación de cosas.
Para tener idea del carácter intuitivo de la operación de contar, el propio Lacan refiere un poema árabe que indica en verso lo que hay que hacer con los dedos para poder “transmitir el signo del número” (54).
Hay varios libros árabes que tratan la dactilonomía (“reglas del modo de usar los dedos para contar”), como por ejemplo el tratado del matemático Abu'l-Wafa al-Buzajani (5), que da reglas para realizar operaciones complejas, incluida la determinación aproximada de raíces cuadradas. Y hay poemas pedagógicos se ocuparon exclusivamente del conteo de dedos. No encontré ninguna indicación precisa a cuál se refiere Lacan en esta sesión, pero hay un poema corto de Chems-Eddin el Massoul" que fue traducido al francés por el lingüista francés Aristide Marre (6). No sé si esta podría ser la referencia del poema que menciona Lacan, pero tiene su dosis de verosimilitud.

Estas técnicas perseveraron durante siglos.
Para hacernos una idea de ello, esta es la imagen de una página de la obra "De temporum ratione", capítulo "De computo vel loquela digitorum", en el que el monje inglés Beda el Venerable explica como representar hasta el número 9.999 con los dedos de las manos

Claro está que los matemáticos no esperaron a Frege para intentar formalizar esa operación de contar.
Así como Euclides armó el sistema de axiomas que organiza la geometría, intentaron hacer algo similar con la aritmética. Pero hasta Frege no pudieron salirse de la operación de contar.
La formalización permitió salir de las diferentes técnicas intuitivas, concentrando la intuición en la cuenta del uno.

Uno de los primeros en avanzar en ese sentido fue Leibniz, con la formalización de la operación de contar que comenta Lacan en la página 55. El que termina completando esa formalización del conteo del uno será Peano (7), con sus cinco axiomas de los números naturales.
Pero volvamos a Leibniz, tanto por lo que dice Lacan al respecto, como por lo que veremos que dice Frege. Ambos toman la misma referencia, la misma demostración, que encontraremos en los “Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano” (8).
Leibniz presenta su demostración en el marco del diálogo entre sus personajes Filaletes y Teófilo, donde el primero pregunta “a los que pretenden que todo conocimiento que no sea de hecho depende de los principios generales, innatos y evidentes por sí mismos ¿de qué principio precisan para probar que dos y dos son cuatro?”, ya que, según él, ese tipo de proposiciones “es sabida sin ninguna demostración”. Teófilo le responde que, si suponemos que cuatro significa tres y uno, “el que dos y dos son cuatro no constituye una verdad completamente inmediata. Es posible demostrarla”. Y pasa a dar la demostración que Lacan reproduce en la página 55.

"Luego, en virtud del axioma, 2 y 2 es 4 como había que demostrar"

En los comentarios que hace Lacan al respecto se cuela una ambigüedad que, más allá de erudiciones estériles, tiene cierta relevancia a la hora de precisar las diferencias con lo que Frege tomará y rechazará de Leibniz, y por lo tanto, para precisar su concepto de número.
En la demostración de Leibniz hay un “error” que consiste en la ausencia de la regla asociativa que es la que permite que la forma de agrupar los sumandos no cambie la suma, es decir, que pueda ser válido que (a+b)+c = a+(b+c). Los paréntesis incluidos en esta fórmula son los que escribe la regla asociativa, y cuya ausencia señala Lacan en la demostración de Leibniz.

Pero el texto es un poco confuso, porque por un lado Lacan dice que esa demostración no es válida más que a condición de “NO tomar en consideración” esos paréntesis, y antes de terminar ese mismo párrafo dice que “es necesario plantear el axioma que él no toma en consideración”, y escribe la misma fórmula que transcribí previamente de la regla asociativa. El texto de la estenotipia incluso es más taxativo: "Il est nécessaire, ce qu'il néglige, de poser l'axiome", donde utiliza el verbo "négliger" ("descuidar", "desatender"), el mismo que usó en la frase problemática anterior, allí donde Paidós traduce "négliger" como "no tomar en consideración".

El malentendido viene a propósito del comentario donde Lacan señala que desde el punto de vista de Frege (“el lógico”) “basta con que esta condición (la regla asociativa) sea omitida para rechazar la génesis leibniziana” (55). El punto es que, justamente, cuando Frege critica esa génesis, no es por ese motivo, muy por el contrario. En el punto 6 de sus “Fundamentos de la aritmética”, Frege aborda la misma demostración de Leibniz (9), señalando que con la corrección correspondiente a la regla asociativa, “es fácil ver que así es sencillo demostrar cualquier fórmula de la suma de uno”. Mediante esta formalización, definiendo cada número a partir del precedente, “no veo que un número como el 437986 pueda venirnos dado de otra manera más adecuada que la de Leibniz” (comparemos con la dactilonomía árabe, o del monje Beda el Venerable) . Resumiendo, “mediante tales definiciones, el conjunto infinito de los números es reducido al uno y al aumento en uno” (10).

La crítica a la demostración de Leibniz, entonces, no radica en que se haya "olvidado" de escribir el paréntesis de la regla asociativa, sino en la noción misma de número en juego confundida con la noción de suma, para el caso, de suma de uno. En el punto 30 Frege señala que “no ha podido darse definición alguna de la propiedad “un””. Cuando Leibniz dice: “Uno es lo que reunimos por medio de un acto del entendimiento”, está definiendo “uno” “por medio de sí mismo”. ¿Y acaso no podemos reunir también “muchos por medio de un acto del entendimiento”? Son estas confusiones con relación a la noción de “unidad” las que critica Frege, aún en las variantes más formalizadas del conjunto de los números enteros, como resulta de la demostración de Leibniz

Para Lacan, esa forma de sumatoria de uno tampoco es la vía adecuada para la conceptualización de la repetición y la necesidad. Por eso es importante precisar la noción de número que elabora Frege.

La manera de definir el número en términos puramente formales es por la vía de asociarlo con una relación.
Lacan lo repite casi textualmente: “La subsistencia del número no puede asegurarse más que a partir de la equinumerosidad de los objetos que subsume un concepto” (55).
De la noción de concepto derivará luego, en la teoría de conjuntos, la noción de conjunto. Pero para Frege, un "concepto" no es un "conjunto".
Un "concepto" es algo que deriva de una función, es “una función cuyo valor es siempre un valor de verdad” (11).
La manera en que un concepto subsume objetos es en la medida en que cumplen el valor de verdad de la función (lo cual no es lo mismo que la noción de pertenencia de un elemento en la teoría de conjuntos).

El número será definido por Frege a partir de una relación lógica, una aplicación biyectiva. Esa aplicación será la equinumerosidad. Así en el item 72 de sus "Fundamentos de la aritmética", Frege plantea que la expresión “el concepto F es equinumérico al concepto G” significa lo mismo que la expresión “existe una relación Φ que a los objetos que caen bajo el concepto F les aplica biyectivamente los objetos que caen bajo G”. Y el número que corresponde al concepto F es la extensión del concepto “equinumérico al concepto F”. Esta es la definición que reproduce Lacan cuando señala que “la subsistencia del número no puede asegurarse más que a partir de la equinumerosidad de los objetos que subsume un concepto” (55).

Frege señala que el concepto relacional, lo mismo que el simple, “pertenece a la lógica pura”. No interesa ahí “el contenido particular de la relación, sino solamente la forma lógica”.
El número se define en la relación entre conceptos. No es tal cantidad de cosas, no es una cuenta. Es una extensión de un concepto en su relación con otro concepto.
Lo importante de la equinumerosidad es que es una relación lógica. Construir un número equivale a definir un concepto utilizando la igualdad como única constante lógica y la aplicación biyectiva.

5 - El número 0

El paso siguiente es el que permite definir un determinado número.
Hasta ahora el número que corresponde al concepto F es la extensión de otro concepto, relacional, que es la equinumerosidad con el concepto F.

El primer número que define (en el item 74) es el 0, como el número que corresponde al concepto “desigual consigo mismo”. Por lo tanto, el número 0 es la extensión del concepto “equinumérico al concepto “desigual consigo mismo””. En base a la definición de igualdad de Leibniz, el concepto “desigual consigo mismo” no subsume ningún objeto. Por lo tanto, cualquier concepto bajo el cual nada caiga es equinumérico a cualquier otro concepto bajo el cual nada caiga: “ningún objeto cae bajo un concepto cuando el número que corresponde a este es el 0”.

En teoría de conjuntos asociamos el 0 al conjunto vacío, en base a la propiedad de pertenencia, como el conjunto que no tiene elementos, al que no pertenece ningún elemento. Pero como ya señalé antes, la base de lo que toma Frege no es la teoría de conjuntos. Lo que toma Frege no es la propiedad de pertenencia sino la relación de igualdad de Leibniz. Lo señala en ese mismo item 74: “Para la definición del 0 podría haber tomado cualquier otro concepto bajo el cual no caiga nada. Pero me interesa elegir un del que pudiera demostrarse esto último con medios puramente lógicos”, y para ello el más cómodo es “desigual consigo mismo”, “entendiendo por “igual”, la definición antes mencionada de Leibniz (12), que es puramente lógica”.

Podríamos haber buscado definir el 0 a partir, por ejemplo, del concepto “caballo de cinco patas”, ya que es de suponer que no hay ningún objeto que caiga bajo ese concepto. Pero la demostración de que bajo dicho concepto no cae ningún objeto está sujeta a una verificación empírica. Y quién sabe, quizás en algún lugar del mundo alguna yegua haya parido algún potrillo malformado, y con cinco patas. En cambio, con el concepto “x diferente a x”, la demostración de que no cae ningún objeto es puramente lógica, en base a la contradicción de la relación de igualdad.

Esta referencia al “desigual consigo mismo” es la que subraya Lacan en esta regresión “hasta la concepción del concepto vacío que no entraña objeto alguno”, que “es el concepto, no de la nada – ya que es un concepto – sino de lo inexistente” (55), definido a partir del argumento “x diferente de x” (55).
El número 0 es la extensión del concepto “equinumérico con el concepto x diferente de x”.

6 - El número 1

El paso siguiente es la definición del 1, que es lo que nos interesa, puesto que esa “conquista” nos brindará “el significante de la inexistencia” (56)
La construcción de este número será también la que dará lugar a la paradoja de Russell.

Así como tenemos el concepto “desigual consigo mismo”, también podemos definir el concepto “igual a 0”.
Y bajo ese concepto cae un objeto, el 0, es decir, el número que corresponde al concepto “desigual consigo mismo”, que para el caso significa lo mismo que “igual a 0 pero no igual a 0”, bajo el cual no cae ningún objeto.

Que se pueda pasar de un concepto a su extensión y tratar a esta como a un objeto, es una condición necesaria para la construcción del número.
Pero, como señala Claude Imbert “Frege no pudo dar jamás una determinación de la extensión que le satisficiese” (13). Ese problema se plantea justamente a la hora de definir el número sucesor del 0.
Dos extensiones de concepto son, o bien iguales, o bien una es más amplia que la otra.
El signo general de una extensión de concepto es el de una función de segundo orden que da lugar a un nombre propio cuando se introduce en lugar del argumento el nombre propio de una función de primer orden con un argumento.

Es decir, tenemos dos niveles o exigencias. La primera fue que a todo concepto se le pueda asociar una extensión aunque la clase sea vacía.
La segunda es que para toda extensión de concepto tomada como argumento, una función cualquier de primer orden tenga un valor veritativo. En el primer caso, la extensión de concepto es tratada como una clase, en el segundo caso es tratada como un elemento.
Este doble punto de vista es el que nos permite definir la relación en la que están dos números adyacentes de la serie de los números naturales, en el item 76 de los fundamentos de la aritmética.
El enunciado “existe un concepto F y un objeto X que cae bajo él de tal tipo que el número que corresponde al concepto F es N y que el número que corresponde al concepto “que cae bajo F, pero no es igual a X” es M”, se tomará como equivalente a “N sigue inmediatamente a M en la serie de los números naturales”.

Pero antes de pasar a la generalización de la expresión “N=M+X”, Frege se limita al paso que implica el sucesor del número 0, a demostrar, primero, “que existe algo que, en la serie de los números naturales, sigue inmediatamente al 0” (puesto que lo único que tenemos definido hasta ahora es el número en general, y el 0).
Es ahí donde se plantea esta duplicidad entre el concepto como clase vacía, y el concepto como objeto.

Para graficarlo, sin recurrir a los signos de la “Conceptografía” de Frege, no tenemos más que los esquemas clásicos de teoría de conjunto.
Podríamos esquematizar el número 0 del siguiente modo

Análogamente, podemos esquematizar el sucesor del 0 de este modo.

Bajo el concepto “igual a 0” cae un objeto, el número 0, que es la extensión del concepto “desigual consigo mismo”, bajo el cual no cae ningún objeto.
El concepto “igual a 0” es, por lo tanto, equinumérico con aquellos conceptos bajo los cuales cae un objeto.
El 1 será el número del concepto “igual a 0” que solo tiene por objeto la inexistencia.

Lacan lo traduce de la siguiente manera: “el concepto al que conviene el número 0 es igual a 0 pero no idéntico a 0”, y “el que es idéntico a 0 es considerado su sucesor, y como tal igualado a 1” (56).

El procedimiento de Frege tiene tres términos: concepto, objeto y número.
El campo de la lógica está construido en términos de verdad y falsedad en base a un principio elemental que es que “un concepto no puede ser diferente de sí mismo”.
El concepto “no idéntico a sí mismo” no subsume ningún objeto, su extensión es nula, a ese concepto vacío, imposible, Frege le asigna el número 0.

En el "pase mágico" de la inexistencia del concepto no idéntico a sí mismo, cuyo número es 0, al concepto del número 0, tenemos en juego los problemas de dominio y extensión de la función.
El concepto bajo el que no caen objetos es en sí mismo un objeto. En términos de teoría de conjuntos, es una clase que no tiene elementos pero que como clase es un elemento que puede contarse como parte de otro conjunto.
Así es como pasamos de la inexistencia al número 1, que “cuenta” el concepto vacío como un elemento.

Esto es lo que analizaremos en detalle la próxima vez.
Apoyándose en el triángulo aritmético, Lacan desarrollará la cuestión del 1 como significante de la inexistencia, señalando que lo que inventa Frege, más que el número, es el mecanismo de la repetición.
No llegamos al dos de la misma manera que podemos decir dos caballos. Se llega al dos por la repetición de la inexistencia. Veremos que no es tan fácil llegar al dos.
Esta cuestión del 1 será, justamente, uno de los ejes principales de todo el seminario

Notas

(1) Gottlob Frege, "Die Grundlagen der Arithmetik", traducción al castellano "Los fundamentos de la aritmética", Editorial Laia, Barcelona (esa edición inluye el estudio que menciona Lacan de Claude Imbert, quien en otra época había frecuentado su seminario)

(2) Jacques Lacan, "La significación del falo", Escritos 2, Editorial Siglo XXI

(3) Idem, página 672

(4) Idem, página 669

(5) Abu'l-Wafa al-Buzjani, "Al-kuttab del ilayh del yahtaj de kitab fi ma el 'al-hisab mínimo wa'l-ummal del ilm", libro escrito entre 961 y 976. Se trata de una obra que trata sobre la aritmética de conteo con los dedos, un sistema de numeración que se usaba en el Imperio islámico

(6) Aristide Marre, «Manière de compter des anciens avec les doigts des mains, d'après un petit poème inédit arabe», incluido en el "Bullettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche" Volumen I, páginas 309-318, de Baldassare BoncompangniL

acan refiere esa fórmula a uno de sus alumnos, que podría ser Octave Mannon, quei tiene un artículo con un título semejante: "Je sais bien, mais quand même" ("Ya lo sé, pero aun así"), que fue incluido como parte de "Clefs pour l'Imaginaire ou l'Autre Scène" ("La Otra escena. Claves de lo imaginario"), y luego publicado por separado en Seuil

(7) Ver los axiomas de Peano en Wikipedia

(8) Gottfried Leibniz, "Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano", Libro IV "Sobre el conocimiento", Capítulo VII "Sobre las proposiciones denominadas máximas o axiomas", página 497 de la edición preparada por Echeverria Ezponda

(9) Gottlob Frege, "Los fundamentos de la aritmética", Editorial Laia, página 30

(10) Idem, página 31

(11) Gottlob Frege, “Función y concepto”, incluido en “Escritos lógico-filosóficos”, Editorial Colihue, página 30

(12) La “definición antes mencionada de Leibniz” es la planteada en el ítem 65, la clásica definición: “eadem sunt qui substitui possunt salva veritate”.
Dos expresiones son salva veritate sustituibles si pueden intercambiarse sin alterar el valor de verdad de los enunciados en los que aparecen.

(13) Claude Imbert, “Estudio de los fundamentos de la aritmética de Frege”, incluido como segunda parte en la edición de Laia de “Los fundamentos de la aritmética".