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Sesión del
23 de noviembre de 1966
"La paradoja de Russell"
Notas de lectura y comentarios
La ubicación de
las citas es indicada con paginación de la edición Paidós
Uno en más
1 - Paradoja de Russell y teoría de conjuntos
La contradicción anterior es la llamada paradoja de Russell.
Las paradojas son contradicciones especiales. En lógica son dichos o hechos que parecen contrarios, y en literatura son figuras de pensamiento que aparentemente envuelven contradicciones. Las contradicciones se resuelven descubriendo cuál de los términos opuestos es el verdadero, más allá de que no siempre está claro el criterio de "verdad". En cambio, en las paradojas, ambos enunciados aparecen como verdaderos, y son una de las formas en que se presentan los problemas lógicos.
La paradoja de Russell fue uno de los problemas más graves de la lógica moderna. Pone en cuestión la más generalizada e intuitivamente aceptable definición de conjunto, la que postula que, dada una propiedad, todos los objetos que la poseen constituyen el conjunto de los poseedores de esta. Esa concepción divide al universo en dos clases: la que posee la propiedad y la que no lo posee.
Russell presentó la paradoja en una carta a Frege, planteando las consecuencias de definir un axioma de especificación en los siguientes términos: "no pertenecer a sí mismo".
En su “Conceptografía” (o “Ideo grafía”, “Begriffsschritt”) Frege reemplaza la clásica relación entre sujeto y predicado por la articulación de argumento y función. Define un concepto como un tipo de función que toma como argumento un objeto cualquiera “x” y devuelve un valor de verdad, ya sea verdadero o falso. Por ejemplo, interpretamos el concepto P(x) “x es psicoanalista” sustituyendo la variable x por Lacan, en cuyo caso el resultado es un valor verdadero. Decimos entonces que Lacan “satisface” o cae bajo la función P(x). En cambio, si reemplazamos la variable x por Aristóteles, diremos que la misma no satisface esa función. En la medida en que hay otros objetos que, a semejanza de Lacan, satisfacen el concepto P(x), Frege define la extensión de un concepto como todos aquellos objetos que satisfacen, o dan valor de verdad, a esa función. A todo concepto le corresponde una extensión.
La famosa “ley básica V” sobre la que Frege desarrolla su construcción de los números naturales, establece que las extensiones de dos conceptos son iguales siempre que los mismos términos caigan bajo ambos conceptos. Esto permite que conceptos que podrían ser diferentes compartan una misma extensión. De este modo pueden coincidir o superponerse definiciones intensionales (predicativas) y extensionales de una misma colección de elementos.Russell denominó “clases” a las extensiones y mostró como la “ley básica V” de Frege arrastraba una contradicción. El planteo fue el siguiente. Si denominamos X a una variable que represente una extensión o clase cualquiera, podríamos preguntarnos si existe una clase A tal que toda clase X existe en A, es decir, A sería la clase de todas las clases. En ese caso, esa clase A necesariamente “se contiene a sí misma”, de lo contrario habría una clase que caería fuera de su propia definición: ella misma.
No hay nada contradictorio en clases que se contienen a si mismas. Por ejemplo, la clase de “los objetos que no son sillas”, esa clase es un objeto abstracto que no es una silla, y por lo tanto, forma parte de si misma. Si llamamos clases singulares a las clases que se contienen a si mismas, podemos plantear la clase de todas las clases singulares, y la clase (disyunta) de las clases que “no se contienen a sí mismas”. El problema surge con esta última. La clase de las clases que no se contienen a si mismas, ¿es singular (se contiene a sí misma), o ella también “no se contiene a sí misma”? Si es una clase singular, que se contiene a sí misma, entonces formaría parte de esa clase. Pero hemos dicho que esa clase es la clase de las clases que no se contienen a si mismas. Por lo tanto, no es posible que sea una clase singular. Pero si no es una clase singular, no se contiene a sí misma, entonces debería formar parte de esa clase.En resumen, ante la pregunta por la clase A de las clases B que “no se contienen a sí mismas”, se obtiene la siguiente paradoja. Si la clase A no se contiene a sí misma, es de la especie de las clases B que no se contienen a sí mismas, y por lo tanto debería pertenecer la clase A por la definición que dimos de la misma. Pero al mismo tiempo, si A pertenece a sí misma, por su propia definición no puede pertenecer a sí mismo.
Llegamos así a la paradoja siguiente: "la clase A pertenece a si mismo si y solamente si no pertenece a sí misma".
Esta contradicción desmorona la “ley básica V” que daba cuenta de la equivalencia de extensiones de conceptos diferentes, en particular, de la eventual equivalencia de clases definidas por extensión (que serían las que resultan del argumento satisfactorio de una función o concepto) y de extensiones definidas por intensión (que son las que resultan de una formulación general o universal, del tipo “todas”, como es el caso de “la clase que contiene a las clases que…”). Las clases definidas por intensión arrastran, con su universalización, la problemática de si la definición forma parte, o no, de lo que define. Es decir, retornan los problemas de la intuición que Frege había intentado acotar para el fundamento de su noción de número.Una versión popular de esta paradoja es la de los barberos. En un antiguo reino, el gobernante impone las siguientes órdenes: todos los habitantes deben estar afeitados, pero solo por barberos. Como consecuencia de ello, en un pequeño pueblo, donde había un solo barbero, se plantea el problema de que, cumpliendo con la exigencia de ser el barbero que los afeita a todos, no podrá cumplir con la exigencia de ser él mismo afeitado por un barbero. Caemos así en la paradoja de si el barbero se afeita o no a sí mismo..
Lacan retoma la paradoja con el ejemplo de la palabra "obsoleta: "decir que la palabra "obsoleta" representa una clase donde estaría comprendida ella misma, bajo el pretexto de que la palabra "obsoleta" es obsoleta" supondría la posibilidad de fundar una clase de los significantes que se significarían a si mismos. Pero el axioma de especificación indica que "en ningún caso el significante podría significarse a sí mismo".
Es decir, tenemos que analizar la eventual contradicción en la fórmula que se enunciaría así:
( B <> A / S w S)El razonamiento que sigue Lacan es el siguiente.
El subconjunto B estaría especificado a partir del conjunto A por la definición axiomática de aquellos elementos que no se contengan a si mismos.
¿Habría algún subconjunto definido por esta proposición de la existencia de elementos que no se contengan ellos mismos?.
Si tomamos un elemento y, como formando parte de B ( y ∈ B), veamos las consecuencias que se desprenden a partir del momento en que, al mismo tiempo, forma parte, como elemento, de A ( y ∈ A ), y por el axioma de especificación, no se contiene a si mismo ( yy ).
Esto lo podemos escribir del siguiente modo:( y ∈ B ) ( y ∈ A / y
La contradicción surge cuando en vez de hablar de elementos (es decir de los y) pasamos a hablar de conjuntos (del B).
Esto es lo que hace Lacan, sin explicitarlo, cuando decide poner B en lugar de y en la ecuación anterior, resultando:( B ∈ B ) ( B ∈ A / B
La fórmula indica que cada vez que hacemos que B sea elemento de B (habiendo puesto B en el lugar de y) resulta que no debe formar parte de si mismo, y por otra parte , si no forma parte de si mismo (como indica el paréntesis de la derecha), entonces forma parte de si mismo siendo uno de esos y que son elementos de B. Esa es la contradicción en la que nos coloca la paradoja de Russell.
Las "soluciones" que ha instrumentado la lógica matemática a esta paradoja son varias.
Una de ellas es la de Brouwer, y su teoría intuitiva de conjuntos: "No pueden existir matemáticas, si no han sido construidas intuitivamente". Brouwer defiende que las matemáticas son una libre creación mental, desarrollada a partir de una intuición primordial (la del tiempo) e independiente de la experiencia; cualquier construcción lógica de las matemáticas conduce a una construcción lingüística que nunca podrá identificarse con las matemáticas reales.
Ahora bien, con la concepción intuitiva de conjuntos llega un momento en que, como sucede en otras áreas de las matemáticas, la intuición es de poca o ninguna ayuda (por ejemplo como pasa al hablar de la hipótesis del continuo, de espacios de dimensión mayor que tres, etc.). Es en momentos como ese en que se hace evidente la necesidad de axiomatizar y formalizar la teoría de conjuntos para poder llegar a resultados más profundos. Esto implica renunciar a una definición intuitiva de conjunto, y en su lugar postular una serie de principios que determinen el comportamiento de este, de tal forma que los resultados obtenidos no son ya consecuencia de razonamientos intuitivos flojos, sino que se obtienen a partir de tales principios.La solución que fue adoptada por los lógicos es el conjunto de axiomas de Zermelo-Fraenkel, formulados por Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel. Se trata de un sistema axiomático concebido para formular la teoría de conjuntos tomando como primitivos los conceptos de conjunto y de pertenencia a los que se agregan diez axiomas (de extensionalidad, conjunto vacio, de pares, de la unión, del conjunto potencia, de especificación, de reemplazo, de infinitud, de regularidad, de elección). Básicamente, la "solución" que aportan Fraenkel y Zermelo es una restricción sobre el tamaño posible para los conjuntos, reservando los universales para el orden de las clases, las cuales se llamaran "clases últimas".
Lacan señala otro aspecto del problema. Como nos lo muestra el mero uso de las palabras, el problema consiste en lo siguiente: "que yo lo digo" (33)
Porque "si no lo digo", nada le impide a esta fórmula, más precisamente a la segunda, mantenerse como tal, escrita, y nada dice que su uso se detendrá ahí.
Reencontramos aquí la diferencia planteada entre escribir lo que se dijo y "escribir que se lo dice", así como el señalamiento respecto del lugar del A en el grafo del deseo, como lugar del "universo del discurso", en tanto que "en la función de la palabra, se define por ese campo que necesita la estructura del lenguaje".La teoría de conjuntos en cuanto tal no tiene más soporte que lo que se escribe como tal, "que todo lo que puede decirse sobre una diferencia entre los elementos queda excluido del juego" (33).
Cuando algo de una diferencia aparece, como en este caso, entre ser elemento simple, o ser el nombre del conjunto de esos elementos, que a su vez está incluido en el conjunto donde están sus propios elementos, surgen las contradicciones.
Para Lacan, el juego literal que constituye la teoría de conjuntos consiste en escribir que algo tan heteróclito como una persona, un vaho sobre un vidrio y una idea fugaz, pueden constituir un conjunto por el solo hecho de afirmar que no existe más diferencia entre ellos que la que está constituida por el hecho de aplicar sobre ellos "un trazo unario sobre cada uno" (33), y nada más. "La mismidad no está en las cosas sino en la marca que hace posible sumar cosas dejando de lado sus diferencias. La marca tiene el efecto de borrar la diferencia" (1).
Esa "mismidad" es la tachadura de las propiedades de lo que es marcado. En cambio, cuando algo de una diferencia aparece, como en los ejemplos tomados para ilustrar la paradoja, entre ser elemento simple, o ser el nombre del conjunto de esos elementos, que a su vez está incluido en el conjunto donde están sus propios elementos, surgen las contradicciones.2 - Significante en más
En la medida en que lo que pone en juego es el "universo del discurso", la pregunta de Lacan no se encontraría con la paradoja de Russell, por lo siguiente: que el B, que forma parte del universo del discurso, aún cuando está hecho de la especificación de que el significante no podría significarse a sí mismo, "puede tener tal vez consigo mismo, esa especie de relación que escapa a la paradoja de Russell, a saber, demostrarnos algo que sería tal vez su propia dimensión" (33)
En otros términos, a diferencia de las "soluciones" que aportan los lógicos (Brouwer, Fraenkel y Zermelo, etc.), que buscan de algún modo suturar la falla, Lacan extrae de la misma, una formalización diferente.Lo ejemplifica retomando una vez más la paradoja de Russell y el ejemplo del catálogo de los catálogos que no se contienen a si mismos.
Nada impediría que este catálogo de catálogos no se imprima él mismo en su interior, para salvar la contradicción. Supongamos que solo hay cuatro catálogos que no se contienen a sí mismos: A, B, C, D. Supongamos que aparece otro catálogo que no se contiene a si mismo, E.
Entonces podríamos tener un primer catálogo de catálogos que no se contienen a si mismos, que contiene A, B; C y D, y un segundo catálogo que contienen B, C, D y E. Y a cada cual le faltaría una letra, que es justamente la que lo designaría a él mismo.A partir del momento en que se engendra esta sucesión, bastará luego incluirla en el perímetro de un disco, para darse cuenta de que no es porque a cada catálogo le faltará uno (y hasta más), que el círculo de esos catálogos no constituirá algo que es precisamente lo que responde al "catálogo de todos los catálogos que no se contienen a si mismos" (34).
Lo que constituirá esta cadena tendrá la propiedad de ser "un significante en más" que se constituye por el cierre de la cadena.
Un significante incontable que, justamente por ese hecho, podrá ser designado por un significante: "el significante en más" que no se capta en la cadena.Otro ejemplo sería el de los libros y las bibliografías.
Un catálogo de todos los libros que contienen una bibliografía no sería un catálogo de las bibliografías, pero al catalogar esos libros, en la medida en que las bibliografías se remiten las unas a las otras, se recubre bien el conjunto de todas las bibliografías.
Ahí es donde puede situarse el fantasma poético que obsesionaba a Mallarmé, el del "Libro" absoluto (2) (35). Es en este nivel que las cosas se anudan al nivel del uso, no de puro significante, sino del significante purificado. En la medida en que "yo digo" y que "yo escribo que lo digo", el significante queda articulado como diferente de todo significado, y veo entonces esbozarse la posibilidad de ese Libro absoluto cuya particularidad sería la de englobar toda la cadena significante, particularmente por lo siguiente: que ya no puede significar nada. Sin embargo, esta purificación de lo que es esencial al universo del discurso, la significación, no es posible. Podríamos seguir hablando por horas del "Libro absoluto", todo lo que digamos tendría algún sentido.Lo que caracteriza la estructura de aquella B - en la medida en que no sabemos dónde situarla en el universo del discurso, adentro o afuera - es ese rasgo que resulta al hacer el círculo con estos A, B, C, D, E.
Al cerrar la cadena, resulta que cada grupo de cuatro puede facilmente dejar fuera de sí el significante extranjero que puede servir para designar al grupo, por la sencilla razón de que no está allí representado y que, sin embargo, la cadena total constituirá al conjunto de todos esos significantes, haciendo surgir esa unidad en más, incontable como tal.Esa unidad de más es esencial en toda la serie de estructuras sobre las cuales Lacan fundó, desde el año 1960, la operatoria de la identificación. Como en el ejemplo de la superficie del toro, donde, al hacer operar una serie de giros completos en un corte, basta con hacer dos para que, al mismo tiempo, se nos aparezca ese tercero que es necesario para que esos dos se cierren, para que la línea se muerda la cola. Esa tercera vuelta, garantizada por el cierre en torno al hueco central, será aquella por la que resultará imposible no pasar para que los dos primeros bucles se traslapen.
Lo que diferencia al mundo de la escritura del universo del discurso es que puede cerrarse, pero al cerrarse sobre si mismo, justamente de ahí surgirá esa posibilidad de un "Uno" que tiene un estatuto muy diferente a aquel "Uno" que unifica y engloba. Este Uno en más, que sólo se sostiene de la escritura, sin embargo está abierto al universo del discurso. En efecto, "basta con que yo escriba lo que digo de la exclusión de este Uno, basta esto para engendrar este otro plano que es aquél donde se desarrolla propiamente hablando, toda la función de la lógica" (36).
A la lógica le falta siempre recordar que ella solo reposa en la función de una falta (manque) en lo escrito mismo, que constituye el estatuto como tal de la función de la escritura (36).
Si esta escritura sólo se soporta en el retorno, sobre sí mismo cerrado, de un corte (como en la función del toro), debemos entender su función de borde.
La función de la escritura no consiste en limitar lo movedizo de nuestros pensamientos o del universo del discurso. "Si hay algo que se estructura como un borde, lo que él mismo limita está en la posibilidad de entrar, a su vez, en la función bordeante" (37).3 - Marca y repetición
Para retomar la función del "trazo unario" (ver los "comentarios" previos) , para lo cual, Lacan recurre al libro de "Daniel" (3), la historia del "festín de Baltasar" (37).
El versículo 25 se expresa así: Mené, Mené, Teqel, Parsín (4). Mené, Mené, quiere decir "contado", se expresa dos veces, como para mostrar la repetición más simple de lo que constituye el conteo.Basta contar hasta dos para que todo lo que concierne a este Uno en más se ejerza y quede marcado por esto: "no se lo dice".
No se dice que lo que la repetición busca repetir es lo que escapa, por cuanto la marca es original en la función de la repetición. La repetición se ejerce porque se repite la marca. Pero para que la marca provoque la repetición buscada es necesario que, sobre lo que es buscado de lo que la marca marcó la primera vez, esta marca misma se borre en el nivel de lo que ella marcó. Ahí se explica por qué lo que en la repetición es buscado, por su naturaleza, se escabulle, deja perderse el hecho de que la marca no podría duplicarse sino borrándose sobre lo que ha de repetirse, la marca primera, es decir, al dejarla deslizarse fuera de alcance.Mené, Mené, algo, en lo que fue reencontrado, falta en el peso, algo falta allí, lo cual se dice Parsin.
Esa falta radical que se desprende de la función misma de lo contado en cuanto tal, este Uno en más que no se puede contar, es lo que constituye propiamente esa falta (manque) a la que hemos de dar su función lógica para que ella garantice aquello de lo que se trata en el Parsin terminal, el que hace estallar lo que concierne al universo del discurso, de la burbuja, de la suficiencia de lo que se cierra en la imagen del "todo" imaginario.Por esta vía tiene lugar el efecto de la entrada de lo que estructura el discurso en el punto más radical, que es la letra en tanto que está excluída, en tanto que falta.
Notas
(1) Jacques Lacan, "Acerca de la estructura como inmixión de una Otredad, condición sine qua non de absolutamente cualquier sujeto", Conferencia en el Simposio Internacional del Centro de Humanidades John Hopkins organizado en Baltimore (USA) en el año 1966
(2) Mallarmé albergaba un sueño loco: escribir un libro, el "Libro".
Atraído por la estética del arte por el arte, estaba en la búsqueda de una belleza pura que sólo podria crear el arte: "Un livre ne commence ni ne finit; tout au plus fait-il semblant", "Un libro ni comienza ni termina; a lo sumo finge", decía. Y también: "Le monde existe pour aboutir à un livre", "El mundo existe para concluir en un libro". Emprendió obras ambiciosas que reelaborará durante mucho tiempo como “Hérodiade” (1864-1887) o “L'Après-midi d'un faune” (1865-1876).
En una carta de 1867, Mallarmé escribe a Villiers que aún le quedan dos libros por escribir, “uno completamente absoluto, La Belleza, el otro personal, Suntuosas Alegorías de la Nada”. Esta es la descripción mayúscula del proyecto "Libro" de Mallarmé, como un "prosopoema" sobre "la concepción espiritual de la Nada", repite la carta a Cazalis.(3) El libro de "Daniel" forma parte de la Tanaj hebrea y del Antiguo Testamento cristiano.
En la primera no se lo incluye en la sección denominada los "Profetas" (Nevi'im) sino entre los "Escritos" (Ketuvim).
En el segundo se lo considera el sexto de los libros proféticos y se lo incluye entre los "Profetas Mayores" (junto con Isaías, Jeremías y Ezequiel), entre los libros de Ezequiel y Oseas(4) “El festín de Baltasar” — cf. Daniel, 5, 25 y ss, Biblia de Jerusalén, Desclée de Brower, Bilbao, 1976:
- 25 - La escritura trazada es: Mené, Mené, Teqel y Parsim.
- 26 - Y ésta es la interpretación de las palabras: Mené: Dios ha medido tu reino y le ha puesto fin;
- 27 - Teqel: has sido pesado en la balanza y encontrado falto de peso;
- 28 - Parsim: tu reino ha sido dividido y entrega-do a los medos y los persas.” (op. cit., p. 1230).
Esa edición acompaña con el siguiente comentario el fragmento citado: “Bajo estos tres términos están los nombres de tres pesos o monedas orientales: mina, šéquel y media mina.
Los versículos 26-28 juegan con estas palabras: mené sugiere el verbo maná (medir), tequel, el verbo šagal (pesar), y parsin, a la vez el verbo parás (dividir) y el nombre de los persas.
Alusión al poder decreciente de los tres imperios, cf. 2-28, o de los tres reyes, o bien un adagio oscuro para nosotros.
Ver historia del festín de Baltasar en Wikipedia
